Dva rohy rovnoramenného trojúhelníku jsou na (1, 3) a (9, 4). Pokud je plocha trojúhelníku 64, jaké jsou délky stran trojúhelníku?

Odpovědět:

Délka stran trojúhelníku je:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

Vysvětlení:

Vzdálenost mezi dvěma body # (x_1, y_1) # a # (x_2, y_2) # je dána vzorcem vzdálenosti:

#d = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

Takže vzdálenost mezi # (x_1, y_1) = (1, 3) # a # (x_2, y_2) = (9, 4) # je:

#sqrt ((9-1) ^ 2 + (4-3) ^ 2 = sqrt (64 + 1) = sqrt (65) #

což je iracionální číslo o něco větší než #8#.

Pokud jedna z ostatních stran trojúhelníku měla stejnou délku, pak maximální možnou plochou trojúhelníku bude:

# 1/2 * sqrt (65) ^ 2 = 65/2 <64 #

Tak tomu tak není. Místo toho musí mít obě dvě strany stejnou délku.

Vzhledem k trojúhelníku se stranami # a = sqrt (65), b = t, c = t #, můžeme použít Heronův vzorec k nalezení jeho oblasti.

Heronův vzorec nám říká, že oblast trojúhelníku se stranami #a, b, c # a poloviční obvod #s = 1/2 (a + b + c) # darováno:

#A = sqrt (s (s-a) (s-b) (s-c)) #

V našem případě je polořadovka:

#s = 1/2 (sqrt (65) + t + t) = t + sqrt (65) / 2 #

a Heronův vzorec nám říká, že:

# 64 = 1 / 2sqrt ((t + sqrt (65) / 2) (t-sqrt (65) / 2) (sqrt (65) / 2) (sqrt (65) / 2)) #

#color (bílá) (64) = 1 / 2sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

Vynásobte oba konce #2# dostat:

# 128 = sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

Oboustranně oboustranný

# 16384 = 65/4 (t ^ 2-65 / 4) #

Vynásobte obě strany podle #4/65# dostat:

# 65536/65 = t ^ 2-65 / 4 #

Transponujte a přidejte #65/4# na obě strany:

# t ^ 2 = 65536/65 + 65/4 = 262144/260 + 4225/260 = 266369/260 #

Vezměte pozitivní odmocninu obou stran, abyste získali:

#t = sqrt (266369/260) #

Takže délky stran trojúhelníku jsou:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

Alternativní metoda

Namísto použití Heronova vzorce můžeme zdůvodnit následující:

Vzhledem k tomu, že základna rovnoramenného trojúhelníku má délku:

#sqrt (8 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (65) #

Tato oblast je # 64 = 1/2 "základna" xx "výška" #

Výška trojúhelníku je tedy:

# 64 / (1/2 sqrt (65)) = 128 / sqrt (65) = (128sqrt (65)) / 65 #

Toto je délka kolmého osy trojúhelníku, který prochází středem základny.

Takže další dvě strany tvoří hypotézy dvou pravoúhlých trojúhelníků s nohama #sqrt (65) / 2 # a # (128sqrt (65)) / 65 #

Tak Pythagoras, každá z těchto stran má délku:

#sqrt ((sqrt (65) / 2) ^ 2 + ((128sqrt (65)) / 65) ^ 2) = sqrt (65/4 + 65536/65) = sqrt (266369/260) #