Jak řešíte ^ 2-sqrt (3) a + 1 = 0?

# (a-sqrt (3) / 2) ^ 2 = (a-sqrt (3) / 2) (a-sqrt (3) / 2) #

# = a ^ 2- (sqrt (3) / 2 + sqrt (3) / 2) a + (sqrt (3) / 2) (sqrt (3) / 2) #

# = a ^ 2-sqrt (3) a + 3/4 #

Takže máme:

# 0 = a ^ 2-sqrt (3) a + 1 = a ^ 2-sqrt (3) a + 3/4 + 1/4 #

# = (a-sqrt (3) / 2) ^ 2 + 1/4 #

Odečteme-li 1/4 z obou stran, dostaneme:

# (a-sqrt (3) / 2) ^ 2 = -1 / 4 #

Toto nemá žádné reálné číselné řešení, protože čtverec jakéhokoliv reálného čísla je nezáporný.

Pokud chcete komplexní řešení, # a-sqrt (3) / 2 = + -sqrt (-1/4) = + -i / 2 #

Přidání #sqrt (3/2) # na obě strany dostaneme

#a = sqrt (3) / 2 + - i / 2 #.

Začal bych aplikovat vzorec k řešení kvadratických rovnic (ve skutečnosti je to kvadratická rovnice v „a“):

#a = (- b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) => a = (sqrt3 + -sqrt ((sqrt3) ^ 2-4 · 1 · 1)) / (2 · 1) => a = (sqrt3 + -sqrt (3-4)) / 2 => a = (sqrt3 + -sqrt (-1)) / 2 #

Jak můžete vidět, rovnice nemá žádné skutečné řešení, protože má druhou odmocninu záporného čísla (#sqrt (-1) #).

• Pokud tedy pracujete s reálnými čísly, odpověď zní, že ne #a v RR # který dělá # a ^ 2-sqrt3a + 1 = 0 #.

• Pokud ale pracujete s komplexními čísly, pak existují dvě řešení:

  # a_1 = (sqrt3 + i) / 2 # a # a_2 = (sqrt3-i) / 2 #.