# x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x ^ 3) ^ 2-2 (x ^ 3) + 1 # je formuláře # y ^ 2-2y + 1 # kde #y = x ^ 3 #.
Tento kvadratický vzorec v # y # faktory:
# y ^ 2-2y + 1 = (y-1) (y-1) = (y - 1) ^ 2 #
Tak # x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x ^ 3 - 1) ^ 2 #
# x ^ 3 - 1 = (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) #
Tak # x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) #
# = (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 #.
# x ^ 2 + x + 1 # nemá lineární faktory s reálnými koeficienty. Chcete-li zkontrolovat toto oznámení, že je formulář # ax ^ 2 + bx + c #, který má diskriminační charakter:
#Delta = b ^ 2 - 4ac = 1 ^ 2 - 4 * 1 * 1 = 1 - 4 = -3 #
Být negativní, rovnice # x ^ 2 + x + 1 = 0 # nemá žádné skutečné kořeny.
Jedním ze způsobů kontroly odpovědi je nahradit hodnotu #X# to není kořen do obou stran a uvidíme, jestli dostaneme stejný výsledek:
Snaž se # x = 2 #:
# x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = 2 ^ 6-2x ^ 3 + 1 #
# = 64- (2xx8) +1 = 64-16 + 1 = 49 #
Porovnat:
# (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 = (2-1) ^ 2 (2 ^ 2 + 2 + 1) ^ 2 #
#1^2*7^2=49#
No, to fungovalo!
# x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # je poměrně snadné faktor, protože je to dokonalé náměstí. Jak to mám vědět? Je to trojice ve formě # a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #, a všechny trinomials v té formě jsou dokonalé čtverce.
Tato trojice je dokonalým čtvercem # (x ^ 3 - 1) #. Chcete-li zkontrolovat svou práci, budu pracovat zpět:
# (x ^ 3 - 1) (x ^ 3 - 1) #
# = x ^ 6 - x ^ 3 - x ^ 3 + 1 #
# = x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #
Tahle trojice má faktory #1#, # x ^ 3 - 1 #, a # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #.
Jak jsem však upozornil na mě, # (x ^ 3 - 1) # má také faktory. Protože se jedná o binomický formulář # a ^ 3 - b ^ 3 #, to může také být psáno jak # (a - b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) #.
Tak, # (x ^ 3 - 1) # faktory # (x - 1) # a # (x ^ 2 + x + 1) #, které jsou obě hlavní.
Faktory # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # jsou:
#1#
# x-1 #
# x ^ 2 + x + 1 #
# x ^ 3 - 1 #
# x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #
Konkrétněji, faktorizace PRIME # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # je:
# (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 #
