Jaká je plocha trojúhelníku, jehož vrcholy jsou body se souřadnicemi (3,2) (5,10) a (8,4)?

Odpovědět:

Viz vysvětlení

Vysvětlení:

1. řešení

Můžeme použít Heronův vzorec, který uvádí

Plocha trojúhelníku se stranami a, b, c se rovná

# S = sqrt (s (s-a) (s-b) (s-c)) # kde # s = (a + b + c) / 2 #

Ne pomocí vzorce najít vzdálenost mezi dvěma body

#A (x_A, y_A), B (x_B, y_B) #který je

# (AB) = sqrt ((x_A-x_B) ^ 2 + (y_A-y_B) ^ 2 #

Můžeme spočítat délku stran mezi třemi uvedenými body

řekněme #A (3,2) # #B (5,10) #, #C (8,4) #

Poté jsme nahradili Heronův vzorec.

2. Řešení

Víme, že kdyby # (x_1, y_1), (x_2, y_2) # a # (x_3, y_3) # jsou vrcholy trojúhelníku, pak je plocha trojúhelníku dána vztahem:

Plocha trojúhelníku# = (1/2) | {(x2-x1) (y2 + y1) + (x3-x2) (y3 + y1) + (x1-x3) (y1 + y2)} | #

Proto oblast trojúhelníku, jehož vrcholy jsou #(3,2), (5,10), (8,4)# darováno:

Plocha trojúhelníku# = (1/2) | {(5-3) (10 + 2) + (8-5) (4 + 2) + (3-8) (2 + 10)} | = abs (1/2 (24 + 18-60)) = 9 #

Odpovědět:

#18#

Vysvětlení:

Metoda 1: Geometrická

#triangle ABC = PQRS - (trojúhelníkAPB + trojúhelníkBQC + ACRS) #

#PQRS = 5xx10 = 50 #

#triangle APB = 1/2 (8xx2) = 8 #

#triangle BQC = 1/2 (3xx6) = 9 #

#ACRS = (2 + 4) / 2xx5 = 15 #

#triangle ABC = 50 - (8 + 9 + 15) = 50 -32 = 18 #

Metoda 2: Heronův vzorec

Pomocí Pythagoreanovy věty můžeme spočítat délky stran #triangle ABC #

pak můžeme použít Heronův vzorec pro oblast trojúhelníku vzhledem k délce jeho stran.

Kvůli počtu výpočtů (a potřebě hodnotit odmocniny) jsem to provedl v tabulce:

Opět (naštěstí) jsem dostal odpověď #18# pro danou oblast