Je x ^ 12-y ^ 12 rozdíl dvou čtverců nebo rozdíl dvou kostek?

Vlastně to může být obojí.

Můžete použít vlastnosti exponenciálních mocností k napsání těchto termínů jako rozdíl čtverců a jako rozdíl kostek.

Od té doby # (a ^ x) ^ y = a ^ (xy) #, to můžete říct

# x ^ (12) = x ^ (6 * barva (červená) (2)) = (x ^ (6)) ^ (barva (červená) (2)) #

a

# y ^ (12) = (y ^ (6)) ^ (barva (červená) (2) #

To znamená, že dostanete

# x ^ (12) - y ^ (12) = (x ^ (6)) ^ (2) - (y ^ (6)) ^ (2) = (x ^ (6) - y ^ (6)) (x ^ (6) + y ^ (6)) #

Rovněž, # x ^ (12) = x ^ (4 * barva (červená) (3)) = (x ^ (4)) ^ (barva (červená) (3)) # a # y ^ (12) = (y ^ (4)) ^ (barva (červená) (3)) #

Takže můžete psát

# x ^ (12) - y ^ (12) = (x ^ (4)) ^ (3) - (y ^ (4)) ^ (3) = (x ^ 4 - y ^ 4) (x ^ (4)) ^ 2 + x ^ (4) y ^ (4) + (y ^ 4) ^ (2) #

# x ^ 12 - y ^ 12 = (x ^ 4 - y ^ 4) x ^ 8 + x ^ (4) y ^ 4 + y ^ 8 #

Jak můžete vidět, můžete tyto výrazy dále zjednodušit. Zde je návod, jak byste tento výraz zcela faktorovali

# x ^ (12) - y ^ (12) = podvrat ((x ^ 6 - y ^ 6)) _ (barva (zelená) ("rozdíl dvou čtverců")) * podtržení ((x ^ 6 + y ^ 6)) _ (barva (modrá) ("součet dvou krychlí")) = #

# = underbrace ((x ^ 3 - y ^ 3)) _ (barva (zelená) ("rozdíl dvou kostek")) * podtržení ((x ^ 3 + y ^ 3)) _ (barva (modrá) (" součet dvou krychlí ")) * (x ^ 2 + y ^ 2) (x ^ 4 + x ^ 2 * y ^ 2 + y ^ 4) = #

# = (x + y) (x ^ 2 -xy + y ^ 2) * (xy) (x ^ 2 + xy + y ^ 2) * (x ^ 2 + y ^ 2) (x ^ 4 + x ^ ^ 2 * y ^ 2 + y ^ 4) #

# x ^ 12 - y ^ 12 = (x + y) (xy) (x ^ 2 + y ^ 2) (x ^ 2 - xy + y ^ 2) (x ^ 2 + xy + y ^ 2) (x ^ 4 + x ^ 2 y ^ 2 + y ^ 2) #