Dva rohy trojúhelníku mají úhly (2 pi) / 3 a (pi) / 4. Pokud má jedna strana trojúhelníku délku 4, jaký je nejdelší možný obvod trojúhelníku?

Odpovědět:

# P_max = 28,31 # Jednotky

Vysvětlení:

Problém vám dává dva ze tří úhlů v libovolném trojúhelníku. Protože součet úhlů v trojúhelníku musí přidat až 180 stupňů, nebo # pi # radiánů, můžeme najít třetí úhel:

# (2pi) / 3 + pi / 4 + x = pi #

# x = pi- (2pi) / 3-pi / 4 #

# x = (12pi) / 12- (8pi) / 12- (3pi) / 12 #

# x = pi / 12 #

Pojďme nakreslit trojúhelník:

Problém uvádí, že jedna ze stran trojúhelníku má délku 4, ale neurčuje, která strana. Nicméně v každém daném trojúhelníku je pravda, že nejmenší strana bude naproti nejmenšímu úhlu.

Pokud chceme maximalizovat obvod, měli bychom udělat stranu s délkou 4 stranou protilehlou od nejmenšího úhlu. Vzhledem k tomu, že ostatní dvě strany budou větší než 4, garantuje, že budeme maximalizovat obvod. Z toho důvodu se trojúhelník stává:

Nakonec můžeme použít práva sine najít délky dalších dvou stran:

#sin (a) / A = sin (b) / B = sin (c) / C #

Připojením se dostaneme:

#sin (pi / 12) / 4 = sin (pi / 4) / x = sin ((2pi) / 3) / y #

Řešení pro x a y dostaneme:

# x = 10.93 # a # y = 13,38 #

Maximální obvod je proto:

# P_max = 4 + 10,93 + 13,38 #

# P_max = 28,31 #

Poznámka: Protože problém nespecifikuje jednotky délky na trojúhelníku, stačí použít "jednotky".