Jaká je inverze y = 3log_2 (4x) -2?

Odpovědět:

#f ^ (- 1) (x) = 4 ^ (- 2/3) * 2 ^ (x / 3) #

Vysvětlení:

Nejprve přepněte # y # a #X# ve vaší rovnici:

#x = 3 log_2 (4y) - 2 #

Nyní vyřešte tuto rovnici # y #:

#x = 3 log_2 (4y) - 2 #

# <=> x + 2 = 3 log_2 (4y) #

# <=> (x + 2) / 3 = log_2 (4y) #

Inverzní funkce # log_2 (a) # je # 2 ^ a #, takže tuto operaci aplikujte na obě strany rovnice, abyste se zbavili logaritmu:

# <=> 2 ^ ((x + 2) / 3) = 2 ^ (log_2 (4y)) #

# <=> 2 ^ ((x + 2) / 3) = 4y #

Pojďme zjednodušit výraz na levé straně pomocí pravidel napájení # a ^ n * a ^ m = a ^ (n + m) # a # a ^ (n * m) = (a ^ n) ^ m #:

# 2 ^ ((x + 2) / 3) = 2 ^ (x / 3 + 2/3) = 2 ^ (x / 3) * 2 ^ (2/3) = 2 ^ (x / 3) * (2 ^ 2) ^ (1/3) = 4 ^ (1/3) * 2 ^ (x / 3) #

Vraťme se k naší rovnici:

# 2 ^ ((x + 2) / 3) = 4y #

# <=> 4 ^ (1/3) * 2 ^ (x / 3) = 4y #

# <=> 4 ^ (1/3) / 4 * 2 ^ (x / 3) = y #

# <=> 4 ^ (- 2/3) * 2 ^ (x / 3) = y #

Jsi hotov. Jediné, co zbývá udělat, je nahradit # y # s #f ^ (- 1) (x) # pro formálnější zápis:

pro

#f (x) = 3 log_2 (4x) - 2 #,

inverzní funkce je

#f ^ (- 1) (x) = 4 ^ (- 2/3) * 2 ^ (x / 3) #.

Doufám, že to pomohlo!