Jak rozlišit amd zjednodušit: ln (cosh (ln x) cos (x))?

Odpovědět:

# dy / dx = tanh (lnx) / x - tanx #

Vysvětlení:

Líbí se mi nastavit problém rovný y, pokud to ještě není. Také nám to pomůže přepsat problém pomocí vlastností logaritmů;

#y = ln (cosh (lnx)) + ln (cosx) #

Nyní děláme dvě substituce, aby byl problém snadnější číst;

Řekněme #w = cosh (lnx) #

a #u = cosx #

Nyní;

#y = ln (w) + ln (u) #

ahh, můžeme s tím pracovat:)

Vezměme derivaci vzhledem k x obou stran. (Jelikož žádná z našich proměnných není x, bude to implicitní diferenciace)

# d / dx * y = d / dx * ln (w) + d / dx * ln (u) #

Známe derivaci # lnx # být # 1 / x # a pomocí pravidla řetězu dostaneme;

# dy / dx = 1 / w * (dw) / dx + 1 / u * (du) / dx #

Tak pojďme zpátky #u a w # a najít jejich deriváty

# (du) / dx = d / dxcosx = -sinx #

a

# (dw) / dx = d / dxcosh (lnx) = sinh (lnx) * 1 / x # (pomocí pravidla řetězu)

Zapojení našich nově nalezených derivátů a u a w zpět do # dy / dx # dostaneme;

# dy / dx = 1 / cosh (lnx) * sinh (lnx) / x + 1 / cosx * -sinx #

# dy / dx = sinh (lnx) / (xcosh (lnx)) - sinx / cosx #

# dy / dx = tanh (lnx) / x - tanx #

Pokud to lze dále zjednodušit, nenaučil jsem se. Doufám, že to pomohlo:)