Jaké jsou absolutní extrémy f (x) = x - e ^ x v [1, ln8]?

Odpovědět:

Je zde absolutní maximum #-1.718# v # x = 1 # a absolutní minimum #-5.921# v # x = ln8 #.

Vysvětlení:

Určit absolutní extrémy na intervalu musíme najít kritické hodnoty funkce, které leží v intervalu. Pak musíme testovat jak koncové body intervalu, tak kritické hodnoty. Toto jsou místa, kde by se mohly vyskytnout kritické hodnoty.

Nalezení kritických hodnot:

Kritické hodnoty #f (x) # kdykoliv #f '(x) = 0 #. Musíme tedy najít derivaci #f (x) #.

Li:# "" "" "" "" "" f (x) = x-e ^ x #

Pak: # "" "" "" f '(x) = 1-e ^ x #

Kritické hodnoty tedy nastanou, když: # "" "" 1-e ^ x = 0 #

Což znamená, že:# "" "" "" "" "" "" "" "" "" "e ^ x = 1 #

Tak:# "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" x = ln1 = 0 #

Jediná kritická hodnota funkce je na # x = 0 #, který je ne v daném intervalu # 1, ln8 #. Jedinými hodnotami, při nichž by mohlo dojít k absolutnímu extrému, jsou tedy hodnoty # x = 1 # a # x = ln8 #.

Testování možných hodnot:

Jednoduše, najděte #f (1) # a #f (ln8) #. Čím menší je absolutní minimum funkce, tím větší je absolutní maximum.

#f (1) = 1-e ^ 1 = 1-eapprox-1.718 #

#f (ln8) = ln8-e ^ ln8 = ln8-8approx-5.921 #

Existuje tedy absolutní maximum #-1.718# v # x = 1 # a absolutní minimum #-5.921# v # x = ln8 #.

Graf je původní funkce v daném intervalu:

graf {x-e ^ x.9, 2.079, -7, 1}

Vzhledem k tomu, že neexistují žádné kritické hodnoty, funkce bude během celého intervalu klesat. Od té doby # x = 1 # je začátek neustále klesajícího intervalu, bude mít nejvyšší hodnotu. Stejná logika platí i pro # x = ln8 #, protože je nejdále od intervalu a bude nejnižší.