Jak zjistíte absolutní maximální a absolutní minimální hodnoty f v daném intervalu: f (t) = t sqrt (25-t ^ 2) na [-1, 5]?

Odpovědět:

Reqd. extrémní hodnoty jsou # -25 / 2 a 25/2 #.

Vysvětlení:

Používáme substituci # t = 5sinx, tv -1,5 #.

Všimněte si, že tato substituce je přípustná, protože

# tv -1,5 rArr -1 <= t <= 5rArr -1 <= 5sinx <= 5 #

#rArr -1/5 <= sinx <= 1 #, který je dobrý, jak rozsah #hřích# zábava. je #-1,1#.

Nyní, #f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) = 5sinx * sqrt (25-25sin ^ 2x) #

# = 5sinx * 5cosx = 25sxxxx = 25/2 (2sinxcosx) = 25 / 2sin2x #

Od té doby, # -1 <= sin2x <= 1 rArr -25/2 <= 25 / 2sin2x <= 25/2 #

#rArr -25/2 <= f (t) <= 25/2 #

Proto reqd. končetiny jsou # -25 / 2 a 25/2 #.

Odpovědět:

Najít monotónnost funkce z derivátu znamení a rozhodnout, které lokální maximum / minimum jsou největší, nejmenší.

Absolutní maximum je:

#f (3.536) = 12.5 #

Absolutní minimum je:

#f (-1) = - 4,899 #

Vysvětlení:

#f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) #

Derivace funkce:

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) + t * 1 / (2sqrt (25-t ^ 2)) (25-t ^ 2)' #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) + t * 1 / (2sqrt (25-t ^ 2)) (- 2t) #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) -t ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) -t ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = (25-t ^ 2-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = (25-2t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 (12,5-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 (sqrt (12,5) ^ 2-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 ((sqrt (12,5) -t) (sqrt (12,5) + t)) / sqrt (25-t ^ 2) #

• Čitatel má dvě řešení:

  # t_1 = sqrt (12.5) = 3.536 #

  # t_2 = -sqrt (12.5) = - 3.536 #

  Čitatel je proto:

  Negativní pro #t in (-oo, -3,536) uu (3,536, + oo) #

  Pozitivní pro #t in (-3.536,3.536) #

• Jmenovatel je vždy kladný # RR #, protože je to druhá odmocnina.

  Konečně, daný rozsah je #-1,5#

Proto derivace funkce je:

- Negativní pro #tv -1,3,536 #

- Pozitivní pro #t in (3.536,5) #

To znamená, že graf nejprve jde nahoru #f (-1) # na #f (3.536) # a pak jde dolů #f (5) #. To dělá #f (3.536) # absolutní maximum a největší hodnota #f (-1) # a #f (5) # je absolutní minimum.

Absolutní maximum je #f (3.536) #:

#f (3.536) = 3.536sqrt (25-3.536 ^ 2) = 12.5 #

Pro absolutní maximum:

#f (-1) = - 1sqrt (25 - (- 1) ^ 2) = - 4,899 #

#f (5) = 5sqrt (25-5 ^ 2) = 0 #

Proto, #f (-1) = - 4,899 # je absolutní minimum.

Z níže uvedeného grafu můžete vidět, že je to pravda. Prostě ignorujte zbývající oblast #-1# protože je mimo doménu:

graf {xsqrt (25-x ^ 2) -14,4, 21,63, -5,14, 12,87}