Jaký je jednotkový vektor, který je ortogonální k rovině obsahující (-i + j + k) a (3i + 2j - 3k)?

Odpovědět:

V závislosti na pořadí operací jsou zde dva vektory jednotek. Oni jsou # (- 5i + 0j -5k) # a # (5i + 0j 5k) #

Vysvětlení:

Když vezmete křížový produkt dvou vektorů, vypočítáváte vektor, který je ortogonální k prvním dvěma. Nicméně řešení # vecAoxvecB # je obvykle stejná a opačná ve velikosti # vecBoxvecA #.

Jako rychlý opakovač, křížový produkt # vecAoxvecB # vytváří matici 3x3, která vypadá takto:

# | i j k | #

# | A_x A_y A_z | #

# | B_x B_y B_z | #

a dostanete každý termín tím, že vezmete součin diagonálních termínů, které jdou zleva doprava, počínaje daným písmenem vektoru jednotky (i, j, nebo k) a odečtením součinu diagonálních termínů, které jdou zprava doleva, počínaje od stejný vektorový dopis jednotky:

# (A_yxxB_z-A_zxxB_y) i + (A_zxxB_x-A_x xxBz) j + (A_x xxB_y-A_yxxB_x) k #

U těchto dvou řešení umožňuje nastavit:

#vecA = - i + j + k #

# vecB = 3i + 2j-3k #

Podívejme se na obě řešení:

# vecAoxvecB #

Jak bylo uvedeno výše:

# vecAoxvecB = (A_yxxB_z-A_zxxB_y) i + (A_zxxB_x-A_x xxBz) j + (A_x xxB_y-A_yxxB_x) k #

# vecAoxvecB = (1xx (-3) -1xx2) i + (1xx3 - (- 1) xx (-3)) j + (- 1 xx2-1xx3) k #

#vecAoxvecB = (- 3-2) i + (3-3) j + (- 2-3) k #

#color (červená) (vecAoxvecB = -5i + 0j-5k #

# vecBoxvecA #

Jako flip k první formulaci, vezměte diagonály znovu, ale matice je vytvořena jinak:

# | i j k | #

# | B_x B_y B_z | #

# | A_x A_y A_z | #

# vecBoxvecA = (A_zxxB_y-A_yxxB_z) i + (A_x xxB_z-A_z xxBx) j + (A_y xxB_x-A_x xxB_y) k #

Všimněte si, že jsou odečítány odčítání. To je to, co způsobuje formu „Rovná a opačná“.

# vecBoxvecA = (1xx2-1xx (-3)) i + ((- 1) xx (-3) -1 xx3) j + (1 xx3 - (- 1) xx2) k #

# vecBoxvecA = (2 - (- 3)) i + (3-3) j + (3 - (- 2)) k #

#color (blue) (vecBoxvecA = 5i + 0j + 5k #

Jaký je jednotkový vektor, který je ortogonální k rovině obsahující (i + j - k) a (i - j + k)?

Víme, že pokud je vec C = vec A × vec B, pak je věc C je kolmá k oběma věcem A a vec B Takže, co potřebujeme, je jen najít křížový produkt daných dvou vektorů. Takže, (hati + hatj-hatk) × (hati-hatj + hatk) = - hatk-hatj-hatk + hati-hatj-i = -2 (hatk + hatj) Vektor jednotky je tedy (-2 (hatk + hatj + hatj)) hatj)) / (sqrt (2 ^ 2 + 2 ^ 2)) = - (hatk + hatj) / sqrt (2)

Jaký je jednotkový vektor, který je ortogonální k rovině obsahující <0, 4, 4> a <1, 1, 1>?

Odpověď je = 〈0,1 / sqrt2, -1 / sqrt2〉 Vektor, který je kolmý na 2 další vektory, je dán křížovým produktem. 〈0,4,4〉 x 〈1,1,1〉 = | (hati, hatj, hatk), (0,4,4), (1,1,1) | = hati (0) -hatj (-4) + hatk (-4) = 〈0,4, -4〉 Ověření pomocí bodových výrobků 〈0,4,4〉. 〈0,4, -4〉 = 0 + 16-16 = 0 〈1,1,1〉. 〈0,4, -4〉 = 0 + 4-4 = 0 Modul 〈0,4, -4〉 je = 〈0,4, - 4〉 = sqrt (0 + 16 + 16) = sqrt32 = 4sqrt2 Jednotkový vektor se získá dělením vektoru modulem = 1 / (4sqrt2) 〈0,4, -4〉 = 〈0,1 / sqrt2, -1 / sqrt2〉

Jaký je jednotkový vektor, který je ortogonální k rovině obsahující (20j + 31k) a (32i-38j-12k)?

Jednotkový vektor je == 1 / 1507,8 <938,992, -640> Vektor ortogonální k 2 vectrům v rovině se vypočítá s determinantem | (věci, vecj, veck), (d, e, f), (g, h, i) | kde 〈d, e, f〉 a 〈g, h, i〉 jsou 2 vektory Zde máme veca = 20 0,20,31〉 a vecb = 〈32, -38, -12〉 Proto | (věci, vecj, veck), (0,20,31), (32, -38, -12) | = věci | (20,31), (-38, -12) | -vecj | (0,31), (32, -12) | + veck | (0,20), (32, -38) | = věci (20 * -12 + 38 * 31) -vecj (0 * -12-31 * 32) + veck (0 * -38-32 * 20) = 〈938,992, -640〉 = vecc Ověření provedením 2 bodu produkty 〈938,992, -640〉 0,20,31〉 = 938 * 0 + 992 * 20-