Existuje systematický způsob, jak určit počet čísel mezi 10 a, řekněme 50, dělitelných číslicemi jednotek?

Odpovědět:

Počet čísel mezi #10# a # 10k # dělitelná číslicemi jednotek může být reprezentována jako

#sum_ (n = 1) ^ 9 fl ((k * gcd (n, 10)) / n) #

kde #fl (x) # představuje funkci podlahy, mapování #X# na největší celé číslo menší nebo rovné #X#.

Vysvětlení:

To je ekvivalentní otázce, kolik celých čísel #A# a # b # existují # 1 <= b <5 # a # 1 <= a <= 9 # a #A# dělí # 10b + a #

Všimněte si, že #A# dělí # 10b + a # pokud a pouze tehdy #A# dělí # 10b #. Stačí tedy zjistit, kolik takových # b #existují pro každého #A#. Všimněte si toho #A# dělí # 10b # pokud a pouze v případě, že každý primární faktor #A# je také hlavním faktorem # 10b # s vhodnou multiplicitou.

Jediné, co zbývá, je jít přes každého #A#.

#a = 1 #Jako všechna celá čísla jsou dělitelná #1#, všechny čtyři hodnoty pro # b # práce.

# a = 2 #: Tak jako #10# je dělitelný #2#, všechny čtyři hodnoty pro # b # práce.

# a = 3 #: Tak jako #10# není dělitelný #3#, musíme mít # b # být dělitelný #3#, to znamená, # b = 3 #.

# a = 4 #: Tak jako #10# je dělitelný #2#, musíme mít # b # jako dělitelný #2# mít odpovídající multiplicitu. Tím pádem, # b = 2 # nebo # b = 4 #.

# a = 5 #: Tak jako #10# je dělitelný #5#, všechny čtyři hodnoty pro # b # práce.

# a = 6 #: Tak jako #10# je dělitelný #2#, musíme mít # b # jako dělitelný #3#, to znamená, # b = 3 #.

# a = 7 #: Tak jako #10# není dělitelný #7#, musíme mít # b # jako dělitelný #7#. Ale #b <5 #, a tak žádná hodnota pro # b # funguje.

# a = 8 #: Tak jako #10# je dělitelný #2#, musíme mít # b # jako dělitelný #4#, to znamená, # b = 4 #

# a = 9: # Tak jako #10# není dělitelný #3#, musíme mít # b # jako dělitelný #3^2#. Ale #b <5 #, a tak žádná hodnota pro # b # funguje.

To uzavírá každý případ, a tak se sčítáme, jak jsme došli k otázce, #17# hodnoty. Tato metoda však může být snadno rozšířena na větší hodnoty. Například, pokud bychom chtěli jít od #10# na #1000#omezili bychom # 1 <= b <100 #. Pak se podíval # a = 6 #, řekněme, měli bychom #2# dělí #10# a tudíž #6# dělí # 10b # pokud a pouze tehdy #3# dělí # b #. Existují #33# násobky #3# v rozsahu pro # b #, a tudíž #33# čísla, která končí v #6# a jsou dělitelné #6# mezi #10# a #1000#.

V kratší, jednodušší kalkulaci zápis, pomocí pozorování výše, můžeme napsat počet celých čísel mezi #10# a # 10k # tak jako

#sum_ (n = 1) ^ 9 fl (k / (n / gcd (n, 10))) = sum_ (n = 1) ^ 9 fl ((k * gcd (n, 10)) / n) #

kde #fl (x) # představuje funkci podlahy, mapování #X# na největší celé číslo menší nebo rovné #X#.