Jak integrujete f (x) = (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) s použitím parciálních zlomků?

Odpovědět:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2) + C #

Vysvětlení:

Vzhledem k tomu, že jmenovatel je již započítán, vše, co potřebujeme udělat dílčí zlomky, je vyřešit pro konstanty:

# (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) = (Ax + B) / (x ^ 2 + 2) + C / (x-3) + D / (x-7) #

Všimněte si, že potřebujeme obojí #X# a konstantní termín vlevo nejvíce zlomek protože čitatel je vždy o 1 stupeň nižší než jmenovatel.

Mohli bychom se množit skrze levostranného jmenovatele, ale to by bylo obrovské množství práce, takže můžeme místo toho být chytrí a používat metodu krytí.

Nebudu se podrobně zabývat procesem, ale v podstatě to, co děláme, je zjistit, co činí jmenovatele nulou (v případě #C# to je # x = 3 #) a připojením do levé strany a vyhodnocením při zakrytí faktoru odpovídajícího konstantě to dává:

# C = (3 (3) ^ 2-3) / ((3 ^ 2 + 2) (text (////)) (3-7) = - 6/11 #

Můžeme udělat totéž pro # D #:

# D = (3 (7) ^ 2-7) / ((7 ^ 2 + 2) (7-3) (text (////)) = 35/51 #

Metoda krytí funguje pouze pro lineární faktory, takže jsme nuceni řešit #A# a # B # tradiční metodou a násobením jmenovatelem na levé straně:

# 3x ^ 2-x = (Ax + B) (x-3) (x-7) -6/11 (x ^ 2 + 2) (x-7) +35/51 (x ^ 2 + 2) (x-3) #

Vynásobíme-li všechny závorky a porovnáme všechny koeficienty různých #X# a konstantní pojmy, můžeme zjistit hodnoty #A# a # B #. Jedná se o poměrně zdlouhavý výpočet, takže nechám odkaz pro každého, kdo má zájem:

klikněte zde

# A = -79 / 561 #

# B = -94 / 561 #

To dává, že náš integrál je:

#int 35 / (51 (x-7)) - 6 / (11 (x-3)) - (79x + 94) / (561 (x ^ 2 + 2)) dx #

První dvě mohou být vyřešeny spíše prostými u-náhradami jmenovatelů:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1 / 561int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) dx #

Zbývající integrál můžeme rozdělit do dvou částí:

#int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) dx = int (79x) / (x ^ 2 + 2) dx + int 94 / (x ^ 2) 2 + 2)

Zavolám levý Integral 1 a pravý Integral 2.

Integrální 1

Tento integrál můžeme vyřešit u-substitucí # u = x ^ 2 + 2 #. Derivát je # 2x #, takže se dělíme # 2x # integrovat s ohledem na # u #:

# 79int x / (x ^ 2 + 2) dx = 79int zrušit (x) / (2cancel (x) u) d = 79 / 2int 1 / u = 79 / 2ln | u | + C = 79 / 2ln | x ^ 2 + 2 | + C #

Integrální 2

Chceme dostat tento integrál do formy # tan ^ -1 #:

#int 1 / (1 + t ^ 2) d = tan ^ -1 (t) + C #

Pokud zavedeme substituci # x = sqrt2u #budeme schopni transformovat náš integrál do této formy. Integrovat s ohledem na # u #, musíme se množit # sqrt2 # (protože jsme vzali derivaci s ohledem na # u # namísto #X#):

# 94int 1 / (x ^ 2 + 2) dx = 94sqrt2int 1 / ((sqrt2u) ^ 2 + 2) = =

# = 94sqrt2int 1 / (2u ^ 2 + 2) d = 94 / 2sqrt2int 1 / (u ^ 2 + 1) = =

# = 47sqrt2tan ^ -1 (u) + C = 47sqrt2tan ^ -1 (x / sqrt2) + C #

Dokončení původního integrálu

Nyní, když víme, co je Integral 1 a Integral 2 rovno, můžeme dokončit původní integrál, abychom získali naši konečnou odpověď:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2) + C #