Jak integrujete int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) s použitím parciálních zlomků?

Odpovědět:

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = #

# 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) -2 / (x + 1) + C_o #

Vysvětlení:

Nastavte rovnici, která se má vyřešit pro proměnné A, B, C

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = int (A / (x-1) + B / (x + 1) + C / (x +1) ^ 2) dx #

Nejdříve pojďme vyřešit A, B, C

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = A / (x-1) + B / (x + 1) + C / (x + 1) ^ 2 #

LCD # = (x-1) (x + 1) ^ 2 #

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (A (x + 1) ^ 2 + B (x ^ 2-1) + C (x-1))) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) #

Zjednodušit

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (A (x ^ 2 + 2x + 1) + B (x ^ 2-1) + C (x -1)) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) #

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (Ax ^ 2 + 2Ax + A + Bx ^ 2-B + Cx-C) / ((x- 1) (x + 1) ^ 2) #

Uspořádejte termíny na pravé straně

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (Ax ^ 2 + Bx ^ 2 + 2Ax + Cx + ABC) / ((x-1) (x +1) ^ 2) #

vytvořme rovnice, které se mají řešit pro A, B, C odpovídajícím číselným koeficientům levého a pravého výrazu

# A + B = 4 "" #první rovnice

# 2A + C = 6 "" #druhá rovnice

# A-B-C = -2 "" #třetí rovnice

Simultánní řešení pomocí výsledků druhé a třetí rovnice

# 2A + A + C-C-B = 6-2 #

# 3A-B = 4 "" #čtvrtá rovnice

Pomocí nyní první a čtvrté rovnice

# 3A-B = 4 "" #čtvrtá rovnice

# 3 (4-B) -B = 4 "" #čtvrtá rovnice

# 12-3B-B = 4 #

# -4B = 4-12 #

# -4B = -8 #

# B = 2 #

Řešení pro použití A # 3A-B = 4 "" #čtvrtá rovnice

# 3A-2 = 4 "" #čtvrtá rovnice

# 3A = 4 + 2 #

# 3A = 6 #

# A = 2 #

Řešení C pomocí # 2A + C = 6 "" #druhá rovnice a # A = 2 # a # B = 2 #

# 2A + C = 6 "" #druhá rovnice

# 2 (2) + C = 6 #

# 4 + C = 6 #

# C = 6-4 #

# C = 2 #

Nyní provádíme naši integraci

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = int (2 / (x-1) + 2 / (x + 1) + 2 / (x +1) ^ 2) dx #

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = int (2 / (x-1) + 2 / (x + 1) + 2 * (x +1) ^ (- 2) dx #

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) + (2 * (x + 1) ^ (- 2 + 1)) / (- 2 + 1) + C_o #

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) -2 / (x + 1) + C_o #

Bůh žehnej ….. doufám, že vysvětlení je užitečné.

Jak integrujete f (x) = (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) s použitím parciálních zlomků?

35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2) + C Protože jmenovatel je již započítáno, vše, co potřebujeme udělat dílčí zlomky, je vyřešit pro konstanty: (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) = (Ax + B) / (x ^ 2 + 2) + C / (x-3) + D / (x-7) Všimněte si, že potřebujeme jak x, tak konstantní výraz na levém zlomku, protože čitatel je vždy o 1 stupeň nižší než jmenovatele. Mohli bychom se množit skrze levostranného jmenovatele, ale to by bylo obrovské množství práce, takže můžeme místo toho být chytrí

Jak integrujete int 1 / (x ^ 2 (2x-1)) pomocí parciálních zlomků?

2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C Musíme najít A, B, C tak, že 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x + B / x ^ 2 + C / (2x-1) pro všechny x. Vynásobte obě strany pomocí x ^ 2 (2x-1) a dostanete 1 = Ax (2x-1) + B (2x-1) + Cx ^ 2 1 = 2Ax ^ 2-Ax + 2Bx-B + Cx ^ 2 1 = (2A + C) x ^ 2 + (2B-A) xB Rovnocenné koeficienty poskytují {(2A + C = 0), (2B-A = 0), (- B = 1):} A tak máme A = -2, B = -1, C = 4. Nahradit to v počáteční rovnici, my dostaneme 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = 4 / (2x-1) -2 / x-1 / x ^ 2 Nyní, integrovat termín termínem int t (2x-1) dx-int 2 / x dx-int 1 / x ^ 2 dx pro z

Jak integrujete int (1-2x ^ 2) / ((x + 1) (x-6) (x-7)) s použitím parciálních zlomků?

Int (1-2x ^ 2) / ((x + 1) (x-6) (x-7)) dx = -1/56 ln abs (x + 1) +71/7 ln abs (x-6) -97/8 ln abs (x-7) + C int (1-2x ^ 2) / ((x + 1) (x-6) (x-7)) dx = int (-1/56 (1 / (x + 1) + 71/7 (1 / (x-6)) - 97/8 (1 / (x-7))) dx = -1/56 ln abs (x + 1) +71/7 ln abs (x-6) -97/8 ln abs (x-7) + barva C (bílá) () Odkud pocházejí tyto koeficienty? (1-2x ^ 2) / ((x + 1) (x-6) (x-7)) = a / (x + 1) + b / (x-6) + c / (x-7) lze spočítat a, b, c pomocí metody Heavisideho zakrytí: a = (1-2 (barva (modrá) (- 1)) ^ 2) / (barva (červená) (zrušit (barva (černá) (((((barva ( modrá) (- 1) + 1))) ((b