Jak integrujete int (1-2x ^ 2) / ((x + 1) (x-6) (x-7)) s použitím parciálních zlomků?

Jak integrujete int (1-2x ^ 2) / ((x + 1) (x-6) (x-7)) s použitím parciálních zlomků?
Anonim

Odpovědět:

#int (1-2x ^ 2) / ((x + 1) (x-6) (x-7)) dx #

# = -1/56 ln abs (x + 1) +71/7 ln abs (x-6) -97/8 ln abs (x-7) + C #

Vysvětlení:

#int (1-2x ^ 2) / ((x + 1) (x-6) (x-7)) dx #

# = int (-1/56 (1 / (x + 1)) + 71/7 (1 / (x-6)) - 97/8 (1 / (x-7)) dx #

# = -1/56 ln abs (x + 1) +71/7 ln abs (x-6) -97/8 ln abs (x-7) + C #

#barva bílá)()#

Odkud tyto koeficienty pocházejí?

# (1-2x ^ 2) / ((x + 1) (x-6) (x-7)) = a / (x + 1) + b / (x-6) + c / (x-7) #

Můžeme spočítat #a, b, c # použití metody Heaviside:

#a = (1-2 (barva (modrá) (- 1)) ^ 2) / (barva (červená) (zrušit (barva (černá) ((((barva (modrá) (- 1)) + 1)))) ((barva (modrá) (- 1)) - 6) ((barva (modrá) (- 1)) - 7)) = (-1) / ((- 7) (- 8)) = -1 / 56 #

#b = (1-2 (barva (modrá) (6)) ^ 2) / (((barva (modrá) (6)) + 1) barva (červená) (zrušit (barva (černá) ((((((barva (modrá) (6)) - 6))) ((barva (modrá) (6)) - 7) = (-71) / ((7) (- 1)) = 71/7 #

#c = (1-2 (barva (modrá) (7)) ^ 2) / (((barva (modrá) (7)) + 1) ((barva (modrá) (7)) - 6) barva (červená) (zrušit (barva (černá) (((((barva (modrá) (7)) - 7)))) = (-97) / ((8) (1)) = -97 / 8 #

Odpověď již existovala