Co jsou čtveřice?

Odpovědět:

Druh čísla, pro které násobení není obecně komutativní.

Vysvětlení:

Reálná čísla (# RR #) může být reprezentován přímkou - jednodimenzionálním prostorem.

Komplexní čísla (# CC #) může být reprezentován rovinou - dvourozměrným prostorem.

Čtvrtky (H) může být reprezentován čtyřrozměrným prostorem.

V běžných aritmetických číslech splňují následující pravidla:

Přidání

Identita: #EE 0: AA a: a + 0 = 0 + a = a #

Inverzní: #AA a EE (-a): a + (-a) = (-a) + a = 0 #

Asociativita: #AA a, b, c: (a + b) + c = a + (b + c) #

Komutativita: #AA a, b: a + b = b + a #

Násobení

Identita: #EE 1: AA a: a * 1 = 1 * a = a #

Inverze nenulové: #AA a! = 0 EE 1 / a: a * 1 / a = 1 / a * a = 1 #

Asociativita: #AA a, b, c: (a * b) * c = a * (b * c) #

Komutativita: #color (červená) (AA a, b: a * b = b * a) #

Spolu

Distribučnost: # {(a * (b + c) = (a * b) + (a * c)), ((a + b) * c = (a * c) + (b * c)):} #

#barva bílá)()#

Tato pravidla fungují pro soubor racionálních čísel # QQ #, sada reálných čísel # RR # a komplexní čísla # CC # a definovat, co se nazývá pole - sada vybavená operacemi sčítání a násobení splňující tato pravidla.

Čtvrtky (H) jsou to, co se nazývá zkosené pole nebo asociativní dělení algebra - sada vybavená operacemi sčítání a násobení splňující všechny tyto podmínky kromě komutativity násobení.

Být také #4# prostorový vektorový prostor nad Reals, oni jsou největší asociativní algebra rozdělení přes Reals, jediné jiné dva bytí # RR # a # CC #.

Kromě osy Reálné se nazývají jednotky na dalších třech osách # i #, # j # a # k #. Jsou to všechny kořeny #-1#.

Tyto tři imaginární jednotky splňují následující podmínky:

#ij = k #

#jk = i #

#ki = j #

#ji = -k #

#kj = -i #

#ik = -j #

Čtvrtky mohou být reprezentovány # 2xx2 # matice s komplexními hodnotami nebo pomocí # 4xx4 # matic s reálnými hodnotami.

Mají aplikace v mechanice a teoretické fyzice.

#barva bílá)()#

Poznámka pod čarou

Všiml jsem si, že jsem řekl asociativní divize algebra. Za čtveřice jsou dokonce i cizí Octoniony, které upouštějí od požadavku, aby násobení bylo asociativní.