Otázka # 3cbbc

Odpovědět:

# int_0 ^ (pi / 4) (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) dx = 0.2746530521 #

Vysvětlení:

Moje řešení je podle Simpsonova pravidla, aproximačního vzorce

# int_a ^ b y * dx ~ = #

# h / 3 (y_0 + 4 * y_1 + 2 * y_2 + 4 * y_3 + 2 * y_4 + ….. + 4 * y_ (n-1) + y_n) #

Kde # h = (b-a) / n # a # b # horní mez a. t #A# dolní mez

a # n # libovolné sudé číslo (čím větší, tím lépe)

Vybírám si

# n = 20 #

dána # b = pi / 4 # a # a = 0 #

# h = (pi / 4-0) / 20 = pi / 80 #

To je, jak spočítat. Každý # y = (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) # bude používat jinou hodnotu

pro # y_0 #

# x_0 = (a + 0 * h) = (0 + 0 * pi / 80) = 0 #

# y_0 = (sin x_0 + cos x_0) / (3 + sin 2x_0) #

# y_0 = (sin (0) + cos (0)) / (3 + sin 2 (0)) #

#color (červená) (y_0 = 0.3333333333333) #

pro # 4 * y_1 #

# x_1 = (a + 1 * h) = (0 + 1 * pi / 80) = pi / 80 #

# 4 * y_1 = 4 * (sin x_1 + cos x_1) / (3 + sin 2x_1) #

# 4 * y_1 = 4 * (sin (pi / 80) + cos (pi / 80)) / (3 + sin (2 (pi / 80))) # #

#color (červená) (4 * y_1 = 1.3493618978936) #

pro # 2 * y_2 #

# x_2 = (a + 2 * h) = (0 + 2 * pi / 80) = 2 * pi / 80 #

# 2 * y_2 = 2 * (sin x_2 + cos x_2) / (3 + sin 2x_2) #

# 2 * y_2 = 2 * (sin ((2pi) / 80) + cos ((2pi) / 80)) / (3 + sin 2 ((2pi) / 80)) #

#color (červená) (2 * y_2 = 0,68138682514816) #

pro # 4 * y_3 #

# x_3 = (a + 3 * h) = (0 + 3 * pi / 80) = 3 * pi / 80 #

# 4 * y_3 = 4 * (sin x_3 + cos x_3) / (3 + sin 2x_3) #

# 4 * y_3 = 4 * (sin ((3pi) / 80) + cos ((3pi) / 80)) / (3 + sin 2 ((3pi) / 80)) #

#color (červená) (4 * y_3 = 1.3738977832468) #

pro # 2 * y_4 #

# x_4 = (a + 4 * h) = (0 + 4 * pi / 80) = 4 * pi / 80 #

# 2 * y_4 = 4 * (sin x_4 + cos x_4) / (3 + sin 2x_4) #

# 2 * y_4 = 4 * (sin ((4pi) / 80) + cos ((4pi) / 80)) / (3 + sin 2 ((4pi) / 80)) #

#color (červená) (2 * y_4 = 0,69151824096418) #

zbytek je následující

#color (červená) (4 * y_5 = 1.3904648494964) #

#color (červená) (2 * y_6 = 0,69821575035862) #

#color (červená) (4 * y_7 = 1.4011596185484) #

#color (červená) (2 * y_8 = 0.70242415421322) #

#color (červená) (4 * y_9 = 1.4076741205702) #

#color (červená) (2 * y_10 = 0.70489632049832) #

#color (červená) (4 * y_11 = 1,4113400771087) #

#color (červená) (2 * y_12 = 0.7062173920012) #

#color (červená) (4 * y_13 = 1,4131786935757) #

#color (červená) (2 * y_14 = 0.7068293103707) #

#color (červená) (4 * y_15 = 1,4139474301694) #

#color (červená) (2 * y_16 = 0.70705252678954) #

#color (červená) (4 * y_17 = 1,414179352209) #

#color (červená) (2 * y_18 = 0.70710341105534) #

#color (červená) (4 * y_19 = 1,4142131417552) #

#color (červená) (y_20 = 0.35355339059328) #

Součet všech těchto #color (červená) ("součet" = 20.98194762) #

# int_0 ^ (pi / 4) (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) dx = (h / 3) * "součet" #

# int_0 ^ (pi / 4) (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) dx = ((pi / 80) / 3) * 20,98194762 #

# int_0 ^ (pi / 4) (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) dx = barva (červená) (0.2746530521) #

Alternativou je jednoduše použít grafickou kalkulačku v době, kdy vzniká komplikovaná integrace s přesnější hodnotou

#color (červená) (= 0.2746530722) #

Bůh žehnej … Doufám, že vysvětlení je užitečné.

Odpovědět:

# int_0 ^ (pi / 4) (sin (x) + cos (x)) / (3 + sin (2x)) dx = ln (3) / 4 #

Vysvětlení:

Budeme postupovat pomocí substituce. Nejdříve projdeme nějakou algebrou, aby se integrand dostal do žádoucí podoby.

# 3 + sin (2x) = 3 + 2sin (x) cos (x) #

# = 4 + 2sin (x) cos (x) - 1 #

# = 4 + 2sin (x) cos (x) - sin ^ 2 (x) -cos ^ 2 (x) #

# = 4 - (sin (x) -cos (x)) ^ 2 #

# = (2 + sin (x) - cos (x)) (2 - sin (x) + cos (x)) #

# => (sin (x) + cos (x)) / (3 + sin (2x)) = (sin (x) + cos (x)) / ((2 + sin (x) -cos (x)) (2-sin (x) + cos (x))) #

# = (4 (sin (x) + cos (x))) / (4 (2 + sin (x) -cos (x)) (2-sin (x) + cos (x)) #

# = (sin (x) + cos (x)) / 4 xx #

# xx4 / ((2 + sin (x) -cos (x)) (2-sin (x) + cos (x))) #

# = (sin (x) + cos (x)) / 4 xx #

#xx (1 / (2 + sin (x) -cos (x)) + 1 / (2-sin (x) + cos (x))) #

# = 1 / 4xx (sin (x) + cos (x)) / (2 + sin (x) -cos (x)) - 1 / 4xx (-sin (x) -cos (x)) / (2- sin (x) + cos (x)) #

Pomocí toho můžeme rozdělit integrál:

# int_0 ^ (pi / 4) (sin (x) + cos (x)) / (3 + sin (2x)) dx = #

# = 1 / 4int_0 ^ (pi / 4) (sin (x) + cos (x)) / (2 + sin (x) -cos (x)) dx #

# - 1 / 4int_0 ^ (pi / 4) (- sin (x) -cos (x)) / (2-sin (x) + cos (x)) dx #

Pro první integrál pomocí substituce #u = 2 + sin (x) - cos (x) # nám dává #du = (sin (x) + cos (x)) dx # a hranice integrace se mění od #0# a # pi / 4 # na #1# a #2#. Tak dostaneme

# 1 / 4int_0 ^ (pi / 4) (sin (x) + cos (x)) / (2 + sin (x) -cos (x)) dx = int_1 ^ 2 1 / udu #

# = 1/4 (ln | u |) _1 ^ 2 #

# = 1/4 (ln (2) -ln (1)) #

# = 1 / 4ln (2) #

Pro druhý integrál pomocí substituce #u = 2 - sin (x) + cos (x) # nám dává #du = (-sin (x) -cos (x)) dx # a hranice integrace se mění od #0# a # pi / 4 # na #3# a #2#. Tak dostaneme

# -1 / 4int_0 ^ (pi / 4) (- sin (x) -cos (x)) / (2-sin (x) + cos (x)) dx = -1 / 4int_3 ^ 2 1 / udu #

# = 1 / 4min_2 ^ 3 1 / udu #

# = 1/4 (ln (3) -ln (2)) #

# = 1/4 (ln (3/2)) #

Nahrazení hodnot integrály nám dává požadovaný výsledek:

# int_0 ^ (pi / 4) (sin (x) + cos (x)) / (3 + sin (2x)) dx = 1 / 4ln (2) + 1 / 4ln (3/2) #

# = 1/4 (ln (2) + ln (3/2)) #

# = 1 / 4ln (2 * 3/2) #

# = ln (3) / 4 #