Jaký je limit, jak se x blíží nekonečno (1 + a / x) ^ (bx)?

Pomocí logaritmu a l'Hopitalova pravidla, #lim_ {x to infty} (1 + a / x) ^ {bx} = e ^ {ab} #.

Pomocí substituce # t = a / x # nebo rovnocenně # x = a / t #, # (1 + a / x) ^ {bx} = (1 + t) ^ {{ab} / t} #

Použitím logaritmických vlastností,

# = e ^ {ln (1 + t) ^ {{ab} / t}} = e ^ {{ab} / t ln (1 + t)} = e ^ {ab {ln (1 + t) } / t} #

Podle l'Hopitalova pravidla, #lim_ {t to 0} {ln (1 + t)} / {t} = lim_ {t to 0} {1 / {1 + t}} / {1} = 1 #

Proto, #lim_ {x na infty} (1 + a / x) ^ {bx} = e ^ {ab lim_ {t na 0} {ln (1 + t)} / {t}} = e ^ {ab} #

(Poznámka: #t až 0 # tak jako #x na infty #)