Vyhodnoťte neurčitý integrál: sqrt (10x x ^ 2) dx?

Odpovědět:

# 20 / 3x ^ (3/2) -1 / 2x ^ 2 + c #

Vysvětlení:

#int "" sqrt (10x-x ^ 2) "" dx #

Vyplňte čtverec, #int "" sqrt (25- (x-5) ^ 2) "" dx #

Nahradit # u = x-5 #, #int "" sqrt (25-u ^ 2) "" du #

Nahradit # u = 5sin (v) # a # du = 5cos (v) #

#int "" 5cos (v) sqrt (25-25sin ^ 2 (v)) "" dv #

Zjednodušit, #int "" (5cos (v)) (5cos (v)) "" dv #

Vylepšit, #int "" 25cos ^ 2 (v) "dv #

Vyjměte konstantu, # 25int "" cos ^ 2 (v) "" dv #

Použít vzorce dvojitého úhlu, # 25int "" (1 + cos (2v)) / 2 "" dv #

Vyjměte konstantu, # 25 / 2int "" 1 + cos (2v) "" dv #

Integrovat, # 25/2 (v + 1 / 2sin (2v)) "+ c #

Nahraďte zpět # v = arcsin (u / 5) # a # u = x-5 #

# 25/2 (arcsin ((x-5) / 5) + zrušit (1 / 2sin) (zrušit (2arcsin) ((x-5) / 5))) "+ c #

Zjednodušit, # 25/2 (arcsin ((x-5) / 5) + 25/2 ((x-5) / 5) + c #

Vylepšit, # 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) +5/2 (x-5) + c #, kde #C# je konstanta integrace.

Tadaa: D

Odpovědět:

# = 1/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20)) + 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) + c #

Vysvětlení:

Co je #int sqrt (10x - x ^ 2) dx # ?

Všimněte si, že doména integrované funkce je tam, kde je vnitřní kvadratura pozitivní, tj. #x v 0, 10 #

Tato exprese může být integrována pomocí substitucí. I když se možná cesta k integraci neprodleně projeví, pokud budeme soutěžit na náměstí, můžeme provést goniometrickou substituci:

# 10x - x ^ 2 = 25 - (x-5) ^ 2 #

Což si všimneme, je v klasickém goniometrickém substitučním tvaru, tj. Na čtverci čísla mínus čtverec lineárního #X# funkce.

Za prvé, abychom se zbavili lineárního, nechali jsme #u = x-5 #, který dává # du = dx #, takže můžeme výše uvedený integrál přepsat jako:

#int sqrt (25-u ^ 2) du #

Nyní pro druhou substituci #u = 5sintheta #, která mění integrál na:

#int sqrt (25 - 25sin ^ 2theta) dx #

# = int abs (5costheta) dx # (můžeme ignorovat absolutní hodnoty závorek)

Samozřejmě # dx # nepomáhá, takže rozlišujeme substituční rovnici, abychom získali: #du = 5costheta d theta #, takže integrál se stává:

# 25 int cos ^ 2 theta d theta #

Nyní můžeme použít dvojí úhel vzorec, aby se integrace # cos ^ 2 theta # jednodušší:

#cos (2 theta) = 2cos ^ 2theta -1 #

#:. cos ^ 2theta = 1/2 (cos (2theta) +1) #

Tak se integrál stává:

# 25/2 int cos (2theta) + 1 d theta #

# = 25/2 (1 / 2sin (2 theta) + theta) + c #

# = 25/2 (sinthetacostheta + theta) + c # (pomocí vzorce s dvojitým úhlem)

Nyní, #sintheta = u / 5 = (x-5) / 5 #

Proto, #cos theta = sqrt (1-u ^ 2/25) = sqrt ((- x ^ 2 + 10x-20) / 25) #

A, #theta = arcsin (u / 5) = arcsin ((x-5) / 5) #

#int sqrt (10x - x ^ 2) dx #

# = 25/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-20x + 20)) / 25 + arcsin ((x-5) / 5) + c #

# = 1/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20)) + 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) + c #