Jaký je jednotkový vektor, který je ortogonální k rovině obsahující (- 5 i + 4 j - 5 k) a (4 i + 4 j + 2 k)?

Odpovědět:

Existují dva kroky: (1) najít křížový produkt vektorů, (2) normalizovat výsledný vektor. V tomto případě je odpověď následující:

# ((28) / (46,7) i- (10) / (46,7) j- (36) / (46,7) k) #

Vysvětlení:

Křížový produkt dvou vektorů poskytuje vektor, který je ortogonální (v pravých úhlech) k oběma.

Křížový produkt dvou vektorů #(A#i# + b #j# + c #k#)# a # (p #i# + q #j# + r #k#)# darováno # (b * r-c * q) i + (c * p-a * r) j + (a * q-b * p) k #

Prvním krokem je nalezení křížového produktu:

# (- 5i + 4j 5k) xx (4i + 4j + 2k) = ((4 * 2) - (4 * -5) i + ((-5 * 4) - (- 5 * 2)) j + ((-5 * 4) - (4 * 4)) k = ((8 - (- 20)) i + (- 20 - (- 10) j + ((- 20) -16) k) = (28i-10j -36k) #

Tento vektor je ortogonální k oběma původním vektorům, ale není to jednotkový vektor. Abychom z něj učinili jednotkový vektor, musíme jej normalizovat: rozdělit každou jeho složku délkou vektoru.

# l = sqrt (28 ^ 2 + (- 10) ^ 2 + (- 36) ^ 2) = 46,7 # Jednotky

Jednotkový vektor ortogonální k původním vektorům je:

# ((28) / (46,7) i- (10) / (46,7) j- (36) / (46,7) k) #

Jedná se o jeden jednotkový vektor, který je ortogonální k oběma původním vektorům, ale existuje jiný - ten v přesném opačném směru. Jednoduše změnou znaménka každé ze složek se získá druhý vektor ortogonální k původním vektorům.

# (- (28) / (46,7) i + (10) / (46,7) j + (36) / (46,7) k) #

(ale je to první vektor, který byste měli nabídnout jako odpověď na test nebo úkol!)