Trojúhelník A má plochu 12 a dvě strany délky 6 a 9. Trojúhelník B je podobný trojúhelníku A a má stranu délky 15. Jaké jsou maximální a minimální možné plochy trojúhelníku B?

Odpovědět:

Maximální plocha #triangle B = 75 #

Minimální plocha #triangle B = 100/3 = 33,3 #

Vysvětlení:

Podobné trojúhelníky mají stejné úhly a poměry velikosti. To znamená změna v délce jakékoliv strany, buď větší nebo menší, bude stejná pro ostatní dvě strany. V důsledku toho oblast #s podobný trojúhelník # bude také poměr jednoho k druhému.

Bylo ukázáno, že pokud poměr stran podobných trojúhelníků je R, pak poměr ploch trojúhelníků je # R ^ 2 #.

Příklad: Pro a # 3,4,5, pravoúhlý trojúhelník # sedí na je #3# základnu, jeho oblast může být snadno vypočítána forma # A_A = 1 / 2bh = 1/2 (3) (4) = 6 #.

Ale pokud jsou všechny tři strany zdvojnásobil na délku, oblast nového trojúhelníku je # A_B = 1 / 2bh = 1/2 (6) (8) = 24 # který je #2^2# = 4A_A.

Z uvedených informací musíme najít oblasti dvou nových trojúhelníků, jejichž strany se zvětšují z obou # 6 nebo 9 až 15 # to jsou #podobný# původní.

Tady máme #triangle A # s oblastí # A = 12 # a stran # 6 a 9. #

Také máme větší #s podobný trojúhelník B # s oblastí # B # a straně #15.#

Poměr změny v oblasti #triangle A na trojúhelník B # kde strana # 6 až 15 # je pak:

#triangle B = (15/6) ^ 2týžkový A #

#triangle B = (15/6) ^ 2 (12) #

#triangle B = (225 / (zrušit (36) 3)) (zrušit (12)) #

#triangle B = 75 #

Poměr změny v oblasti #triangle A na trojúhelník B # kde strana # 9 až 15 # je pak:

#triangle B = (15/9) ^ 2triangle A #

#triangle B = (15/9) ^ 2 (12) #

#triangle B = (225 / (zrušit (81) 27)) (zrušit (12) 4) #

#triangle B = (zrušit (900) 100) / (zrušit (27) 3) #

#triangle B = 100/3 = 33,3 #

Odpovědět:

Minimum je #2.567# a maximum je #70.772#

Vysvětlení:

TENTO ODPOVĚĎ MŮŽE BÝT NEPLATNÁ A JE ČEKÁ NA RECALKACI A DVOJITOU KONTROLU! Zkontrolujte, zda EET-AP odpovídá na osvědčenou metodu řešení problému.

Protože jsou dva trojúhelníky podobné, označte je trojúhelník # ABC # a # DEF #, # A / D = B / E = C / F #. Není nám dána, která strana má délku 15, takže ji musíme vypočítat pro každou hodnotu (# A = 6, B = 9 #), a k tomu musíme najít hodnotu #C#.

Začněte vzpomínkou na Heronův teorém # A = sqrt (S (S-A) (S-B) (S-C)) # kde # S = (A + B + C) / 2 #. # A + B = 15 #, tak # S = 7,5 + C #. Tak, rovnice pro oblast (nahradil #12#) je # 12 = sqrt ((7,5 + C / 2) (7,5 + C / 2-6) (7,5 + C / 2-9) (7,5 + C / 2-C) # 7,5. To zjednodušuje # 144 = (7,5 + C / 2) (1,5 + C / 2) (7,5-C / 2) #, které budu znásobovat dvěma kvůli odstranění desetinných míst # 288 = (15 + C) (3 + C) (15-C) #. Vynásobte to, abyste se dostali # 144 = -C ^ 3-3C ^ 2 + 225C + 675 #, # 0 = -C ^ 3-3C ^ 2 + 225C + 531 #, # 0 = C ^ 3 + 3C ^ 2-225C-531 #. Faktor to dostat # C ~ = 14,727 #.

Tyto informace nyní můžeme použít k nalezení oblastí. Li # F = 12 #, měřítko mezi trojúhelníky je #14.727/12#. Vynásobením ostatních dvou stran tímto počtem výnosů # D = 13,3635 # a # E ~ = 11.045 #, a # S ~ = 19,568 #. Zapojte to do Heronova vzorce, abyste se dostali # A = 70,772 #. Postupujte podle stejného souboru kroků

# D = 12 # zjistit, že minimum #A# přibližně rovná #2.567#.