Trojúhelník A má plochu 12 a dvě strany délky 4 a 8. Trojúhelník B je podobný trojúhelníku A a má stranu délky 7. Jaké jsou maximální a minimální možné plochy trojúhelníku B?

Trojúhelník A má plochu 12 a dvě strany délky 4 a 8. Trojúhelník B je podobný trojúhelníku A a má stranu délky 7. Jaké jsou maximální a minimální možné plochy trojúhelníku B?
Anonim

Odpovědět:

A_ "Bmin" ~ ~ 4,8

A_ "Bmax" = 36,75

Vysvětlení:

Nejdříve musíte najít boční délky pro maximální velikost trojúhelníku A, je-li nejdelší strana větší než 4 a 8 a trojúhelník o minimální velikosti, když 8 je nejdelší strana.

Udělat toto používat Heronův vzorec oblasti: s = (a + b + c) / 2 kde a, b, & c jsou délky stran trojúhelníku:

A = sqrt (s (s-a) (s-b) (s-c))

Nechat a = 8, b = 4 "&" c "je neznámá délka strany"

s = (12 + c) / 2 = 6 + 1 / 2c

A_A = 12 = sqrt ((6 + 1 / 2c) (6 + 1 / 2c-4) (6 + 1 / 2c-8) (6 + 1 / 2c-c)) 6

A_A = 12 = sqrt ((6 + 1 / 2c) (2 + 1 / 2c) (- 2 + 1 / 2c) (6-1 / 2c))

Obě strany:

144 = (6 + 1 / 2c) (2 + 1 / 2c) (- 2 + 1 / 2c) (6-1 / 2c)

Vytáhněte 1/2 z každého faktoru:

144 = 1/16 (12 + c) (4 + c) (- 4 + c) (12-c)

Zjednodušit:

2304 = (12 + c) (4 + c) (- 4 + c) (12-c)

2304 = (48 + 8c-c ^ 2) (- 48 + 8c + c ^ 2)

2304 = -2304 + 384c + 48c ^ 2 - 384c + 64c ^ 2 + 8c ^ 3 + 48c ^ 2-8c ^ 3-c ^ 4

c ^ 4 - 160c ^ 2 + 4608 = 0

*Nahradit x = c ^ 2 *: "" x ^ 2 -160x + 4608 = 0

Použijte doplnění čtverce:

(x ^ 2-160x) = -4608

(x - 160/2) ^ 2 = -4608 + (-160/2) ^ 2

(x-80) ^ 2 = 1792

Druhá strana čtverce:

x-80 = + -sqrt (1792)

x = 80 + -sqrt (16) sqrt (16) sqrt (7)

x = 80 + -16 sqrt (7)

Nahradit c ^ 2 = x :

c ^ 2 = 80 + -16 sqrt (7)

c = + - sqrt (80 + -16 sqrt (7))

Vzhledem k tomu, že délky stran trojúhelníku jsou pozitivní, musíme negativní odpovědi ignorovat:

Minimální a maximální délky stran trojúhelníku A:

c = sqrt (80 + -16 sqrt (7)) ~ ~ 6.137, 11.06

Od té doby plocha trojúhelníků je úměrná čtverci stranových délek najdeme maximální a minimální plochy trojúhelníku B:

A_B / A_A = (7/4) ^ 2; "" A_B = (7/4) ^ 2 * 12 = 36,75

A_B / A_A = (7/8) ^ 2; "" A_B = (7/8) ^ 2 * 12 = 9,1875

A_B / A_A ~ ~ (7 / 11.06) ^ 2; "" A_B ~ ~ (7 / 11.06) ^ 2 * 12 ~ ~ 4.8

A_B / A_A ~ ~ (7 / 6.137) ^ 2; "" A_B ~ ~ (7 / 6.137) ^ 2 * 12 ~ ~ 15,6

A_ "Bmin" ~ ~ 4,8

A_ "Bmax" = 36,75