Jaké jsou příklady konvergentních sérií?

Odpovědět:

Zde jsou tři důležité příklady …

Vysvětlení:

Geometrické řady

Li #abs (r) <1 # pak součet geometrických řad #a_n = r ^ n a_0 # je konvergentní:

#sum_ (n = 0) ^ oo (r ^ n a_0) = a_0 / (1-r) #

Exponenciální funkce

Definice série # e ^ x # je konvergentní pro libovolnou hodnotu #X#:

# e ^ x = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ n / (n!) #

Aby to dokázal, pro všechny dané #X#, nech # N # být celé číslo větší než #abs (x) #. Pak #sum_ (n = 0) ^ N x ^ n / (n!) # konverguje, protože je to konečná suma a #sum_ (n = N + 1) ^ oo x ^ n / (n!) # konverguje, protože absolutní hodnota poměru po sobě následujících termínů je menší než #abs (x) / (N + 1) <1 #.

Basilejský problém

Bazilejský problém, postavený v roce 1644 a vyřešený Eulerem v roce 1734 požádal o hodnotu součtu vzájemných hodnot čtverců kladných celých čísel:

#sum_ (n = 1) ^ oo 1 / (n ^ 2) = pi ^ 2/6 #