Odpovědět:
Absolutně konverguje.
Vysvětlení:
Použijte test pro absolutní konvergenci. Pokud vezmeme absolutní hodnotu termínů, dostaneme sérii
#4 + 1 + 1/4 + 1/16 + …#
Toto je geometrická řada společného poměru #1/4#. Tak konverguje. Od obou # | a_n | # konverguje # a_n # absolutně konverguje.
Doufejme, že to pomůže!
Odpovědět:
# "Je to jednoduchá geometrická řada a konverguje absolutně s" # # "suma" = 16/5 = 3.2. "#
Vysvětlení:
# (1 + a + a ^ 2 + a ^ 3 + …) (1-a) = 1 ", za předpokladu, že | a | <1" #
# => 1 + a + a ^ 2 + a ^ 3 + … = 1 / (1-a) #
# "Take" a = -1/4 ", pak máme" #
#=> 1-1/4+1/16-1/64+… = 1/(1+1/4) = 1/(5/4) = 4/5#
# "Naše série je čtyřikrát více než první termín je 4."
# "Takže naše série" #
#4-1+1/4-1/16+… = 4*4/5 = 16/5 = 3.2#
Odpovědět:
Geometrická řada absolutně konverguje s
#sum_ (n = 0) ^ ooa_n = 16/5, sum_ (n = 0) ^ oo | a_n | = 16/3 #
Vysvětlení:
Tato série je rozhodně alternativní série; ale také vypadá geometricky.
Pokud můžeme určit společný poměr sdílený všemi výrazy, série bude ve formě
#sum_ (n = 0) ^ ooa (r) ^ n #
Kde #A# je první termín a # r # je společný poměr.
Sumaci budeme muset najít pomocí výše uvedeného formátu.
Vydělte každý termín termínem před ním, abyste určili společný poměr # r #:
#-1/4=-1/4#
#(1/4)/(-1)=-1/4#
#(-1/16)/(1/4)=-1/16*4=-1/4#
#(1/64)/(-1/16)=1/64*-16=-1/4#
Tato série je tedy geometrická se společným poměrem # r = -1 / 4 #a první termín # a = 4. #
Sérii můžeme napsat jako
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (-1/4) ^ n #
Připomeňme, že geometrické řady #sum_ (n = 0) ^ ooa (r) ^ n # konverguje # a / (1-r) # -li # | r | <1 #. Pokud tedy konverguje, můžeme také zjistit jeho přesnou hodnotu.
Tady, # | r | = | -1/4 | = 1/4 <1 #, takže série konverguje:
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (-1/4) ^ n = 4 / (1 - (- 1/4)) = 4 / (5/4) = 4 * 4/5 = 16/5 #
Teď určujme, zda se sblíží absolutně.
# a_n = 4 (-1/4) ^ n #
Odstraňte střídavý záporný termín:
# a_n = 4 (-1) ^ n (1/4) ^ n #
Vezměte absolutní hodnotu, což způsobí, že alternativní záporný výraz zmizí:
# | a_n | = 4 (1/4) ^ n #
Tím pádem, #sum_ (n = 0) ^ oo | a_n | = součet (n = 0) ^ oo4 (1/4) ^ n #
Vidíme # | r | = 1/4 <1 #, takže stále máme sbližování:
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (1/4) ^ n = 4 / (1-1 / 4) = 4 / (3/4) = 4 * 4/3 = 16/3 #
Série absolutně konverguje s
#sum_ (n = 0) ^ ooa_n = 16/5, sum_ (n = 0) ^ oo | a_n | = 16/3 #
