Co je to abelianská skupina, z pohledu lineární / abstraktní algebry?

Odpovědět:

Abelianská skupina je skupina s doplňkovou vlastností operace skupiny je komutativní.

Vysvětlení:

A skupina # <G, •> # je soubor #G# spolu s binární operací # •: GxxG-> G # které splňují tyto podmínky: t

1. #G# je Zavřeno pod #•#.

   Pro všechny # a, binG #, my máme # a • bv G #

2. #•# je asociativní.

   Pro všechny # a, b, cinG #, my máme # (a • b) • (c) = a • (b • c) #

3. #G# obsahuje prvek identity

   Tady existuje # einG # takové, že pro všechny # ainG #, # a • e = e • a = a #

4. Každý prvek #G# má inverzní v #G#

   Pro všechny # ainG # tady existuje #a ^ (- 1) inG # takové # a • a ^ (- 1) = a ^ (- 1) • a = e #

Říká se, že skupina je Abelian pokud má také majetek #•# je komutativní, to znamená pro všechny # a, binG #, my máme # a • b = b • a #.

Skupina # <ZZ, +> # (celá čísla se sčítáním standardu) je skupina Abelian, protože splňuje všech pět výše uvedených podmínek.

Skupina # GL_2 (RR) # (soubor invertible # 2 "x" 2 # matice s reálnými prvky spolu s násobením matice je non-Abelian, zatímco zatímco splňuje první čtyři podmínky, násobení matice mezi invertibilními maticemi není nutně komutativní. Například:

#((1,1),(1,0))((1,0),(1,1)) = ((2,1),(1,0))#

ale

#((1,0),(1,1))((1,1),(1,0)) = ((1,1),(2,1))#