První a druhý termín geometrické posloupnosti jsou vždy první a třetí termíny lineární posloupnosti. Čtvrtý termín lineární posloupnosti je 10 a součet jeho prvních pěti výrazů je 60 Najít prvních pět termínů lineární sekvence?

Odpovědět:

#{16, 14, 12, 10, 8}#

Vysvětlení:

Typická geometrická posloupnost může být reprezentována jako

# c_0a, c_0a ^ 2, cdots, c_0a ^ k #

a typická aritmetická sekvence jako

# c_0a, c_0a + Delta, c_0a + 2Delta, cdots, c_0a + kDelta #

Povolání # c_0 a # jako první prvek pro geometrickou posloupnost, kterou máme

# {(c_0 a ^ 2 = c_0a + 2Delta -> "První a druhá z GS jsou první a třetí z LS"), (c_0a + 3Delta = 10 -> "Čtvrtý termín lineární sekvence je 10"), (5c_0a + 10Delta = 60 -> "Součet prvních pěti výrazů je 60"):} #

Řešení pro # c_0, a, Delta # získáme

# c_0 = 64/3, a = 3/4, Delta = -2 # a prvních pět prvků pro aritmetickou sekvenci jsou

#{16, 14, 12, 10, 8}#

Odpovědět:

prvních 5 termínů lineární posloupnosti: #color (červená) ({16,14,12,10,8}) #

Vysvětlení:

(Ignorování geometrické posloupnosti)

Pokud je lineární řada označena jako #a_i: a_1, a_2, a_3, … #

a společný rozdíl mezi výrazy je označen jako # d #

pak

Všimněte si, že # a_i = a_1 + (i-1) d #

Daný čtvrtý termín lineární řady je 10

#rarr barva (bílá) ("xxx") a_1 + 3d = 10color (bílá) ("xxx") 1 #

Daný součet prvních 5 termínů lineární sekvence je 60

#sum_ (i = 1) ^ 5 a_i = {:(barva (bílá) (+) a_1), (+ a_1 + d), (+ a_1 + 2d), (+ a_1 + 3d), (ul (+ a_1 + 4d)), (5a_1 + 10d):} = 60color (bílá) ("xxxx") 2 #

Vynásobení 1 číslem 5

# 5a_1 + 15d = 50color (bílá) ("xxxx") 3 #

poté odečtením 3 od 2

#color (bílá) (- "(") 5a_1 + 10d = 60 #

#ul (- "(" 5a_1 + 15d = 50 ")") #)

#color (bílá) ("xxXXXxx") - 5d = 10color (bílá) ("xxx") rarrcolor (bílá) ("xxx") d = -2 #

Nahrazení #(-2)# pro # d # v 1

# a_1 + 3xx (-2) = 10barevný (bílý) ("xxx") rarrcolor (bílý) ("xxx") a_1 = 16 #

Z toho vyplývá, že prvních 5 termínů je:

#color (bílá) ("XXX") 16, 14, 12, 10, 8 #