Poloměry dvou soustředných kruhů jsou 16 cm a 10 cm. AB je průměr většího kruhu. BD je tečná k menšímu kruhu, který se jí dotýká v D. Jaká je délka AD?

Odpovědět:

#bar (AD) = 23,5797 #

Vysvětlení:

Přijetí původu #(0,0)# jako společné centrum # C_i # a # C_e # a volání # r_i = 10 # a # r_e = 16 # tečný bod # p_0 = (x_0, y_0) # je na křižovatce #C_i nn C_0 # kde

# C_i-> x ^ 2 + y ^ 2 = r_i ^ 2 #

# C_e-> x ^ 2 + y ^ 2 = r_e ^ 2 #

# C_0 -> (x-r_e) ^ 2 + y ^ 2 = r_0 ^ 2 #

tady # r_0 ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

Řešení pro #C_i nn C_0 # my máme

# {(x ^ 2 + y ^ 2 = r_i ^ 2), ((x-r_e) ^ 2 + y ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2):} #

Odečtení první z druhé rovnice

# -2xr_e + r_e ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2-r_i ^ 2 # tak

# x_0 = r_i ^ 2 / r_e # a # y_0 ^ 2 = r_i ^ 2-x_0 ^ 2 #

Konečně hledaná vzdálenost je

#bar (AD) = sqrt ((r_e + x_0) ^ 2 + y_0 ^ 2) = sqrt (r_e ^ 2 + 3r_i ^ 2) #

nebo

#bar (AD) = 23,5797 #

Vysvětlení:

Li #bar (BD) # je tečná # C_i # pak #hat (ODB) = pi / 2 # tak můžeme použít pythagoras:

#bar (OD) ^ 2 + bar (DB) ^ 2 = bar (OB) ^ 2 # určování # r_0 #

# r_0 ^ 2 = bar (OB) ^ 2-bar (OD) ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

Bod # D # souřadnic, volal # (x_0, y_0) # by měly být získány před výpočtem požadované vzdálenosti #bar (AD) #

Existuje mnoho způsobů, jak toho dosáhnout. Alternativní metoda je

# y_0 = bar (BD) sin (klobouk (OBD)) # ale #sin (klobouk (OBD)) = bar (OD) / bar (OB) #

pak

# y_0 = sqrt (r_e ^ 2-r_i ^ 2) (r_i / r_e) # a

# x_0 = sqrt (r_i ^ 2-y_0 ^ 2) #

Jak je uvedeno na obrázku, nakreslí se výše uvedený obrázek.

O je společné centrum dvou soustředných kruhů

#AB -> "průměr většího kruhu" #

# AO = OB -> "poloměr většího kruhu" = 16 cm #

#DO -> "poloměr menšího kruhu" = 10 cm #

#BD -> "tečna k menšímu kruhu" -> / _ BDO = 90 ^ @ #

Nechat # / _ DOB = theta => / _ AOD = (180-theta) #

v #Delta BDO-> cos / _BOD = costheta = (OD) / (OB) = 10/16 #

Uplatnění kosinus práva v #Delta ADO # dostaneme

# AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2-2AO * DOcos / _AOD #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2-2AO * DOcos (180-theta) #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2AO * DOcostheta #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2AO * DOxx (OD) / (OB) #

# => AD ^ 2 = 16 ^ 2 + 10 ^ 2 + 2xx16xx10xx10 / 16 #

# => AD ^ 2 = 556 #

# => AD = sqrt556 = 23,58 cm #