Jaké jsou absolutní extrémy f (x) = x / (x ^ 2 + 25) na intervalu [0,9]?

Odpovědět:

absolutní maximum: #(5, 1/10)#

absolutní minimum: #(0, 0)#

Vysvětlení:

Vzhledem k: #f (x) = x / (x ^ 2 + 25) "na intervalu" 0, 9 #

Absolutní extrémy lze nalézt vyhodnocením koncových bodů a nalezením relativních maxim nebo minim a porovnáním jejich # y #-hodnoty.

Posoudit koncové body:

#f (0) = 0/25 = 0 => (0, 0) #

#f (9) = 9 / (9 ^ 2 + 25) = 9 / (81 + 25) = 9/106 => (9, 9/106) ~ ~ (9, 0,085) #

Vyhledejte relativní minimum nebo maximum nastavením #f '(x) = 0 #.

Použijte pravidlo kvocientu: # (u / v) '= (vu' - uv ') / v ^ 2 #

Nechat #u = x; "" u '= 1; "" v = x ^ 2 + 25; "v" = 2x #

#f '(x) = ((x ^ 2 + 25) (1) - x (2x)) / (x ^ 2 + 25) ^ 2 #

#f '(x) = (-x ^ 2 + 25) / (x ^ 2 + 25) ^ 2 = 0 #

Od té doby # (x ^ 2 + 25) ^ 2 * 0 = 0 #, musíme pouze nastavit čitatel = 0

# -x ^ 2 + 25 = 0 #

# x ^ 2 = 25 #

kritické hodnoty: # x = + - 5 #

Protože náš interval je #0, 9#, musíme se jen podívat #x = 5 #

#f (5) = 5 / (5 ^ 2 + 25) = 5/50 = 1/10 => (5, 1/10) #

Pomocí prvního derivátového testu nastavte intervaly, abyste zjistili, zda je tento bod relativním maximem nebo relativním minimem:

intervaly: #' '(0, 5),' ' (5, 9)#

zkušební hodnoty: # "" x = 1, "" x = 6 #

#f '(x): "" f' (1)> 0, f '(6) <0 #

To znamená v #f (5) # máme relativní maximum. Toto se stává absolutním maximem v intervalu #0, 9#, protože # y #- hodnota bodu #(5, 1/10) = (5, 0.1)# je nejvyšší # y #-hodnota v intervalu.

** Absolutní minimum nastává na nejnižší úrovni # y #hodnoty v koncovém bodě #(0,0)**.#