Jak najdete antiderivaci dx / (cos (x) - 1)?

Odpovědět:

Dělejte nějaké konjugované násobení, aplikujte nějaké trig a dokončete, abyste získali výsledek # int1 / (cosx-1) dx = cscx + cotx + C #

Vysvětlení:

Stejně jako u většiny problémů tohoto typu to vyřešíme pomocí konjugovaného multiplikačního triku. Kdykoliv máte něco děleno něčím plus / mínusem (jako v # 1 / (cosx-1) #), je vždy užitečné vyzkoušet konjugované násobení, zejména s funkcí trig.

Začneme násobením # 1 / (cosx-1) # konjugátem # cosx-1 #, který je # cosx + 1 #:

# 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) #

Možná se divíte, proč to děláme. Můžeme tedy použít rozdíl vlastností čtverců, # (a-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 #ve jmenovateli to trochu zjednoduší. Zpět na problém:

# 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) = (cosx + 1) / ((cosx-1) (cosx + 1)) #

# (underbrace (cosx) -underbrace (1)) (podproces (cosx) + underbrace1)) #

#color (bílá) (III) acolor (bílá) (XXX) bcolor (bílá) (XXX) acolor (bílá) (XXX) b #

Všimněte si, jak je to v podstatě # (a-b) (a + b) #.

# = (cosx + 1) / (cos ^ 2x-1) #

A co takhle # cos ^ 2x-1 #? No, víme # sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #. Pojďme to násobit #-1# a uvidíme, co dostaneme:

# -1 (sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x) -> - sin ^ 2x = -1 + cos ^ 2x #

# = cos ^ 2-1 #

Ukázalo se, že # -sin ^ 2x = cos ^ 2x-1 #, Tak pojďme nahradit # cos ^ 2x-1 #:

# (cosx + 1) / (- sin ^ 2x #

To je ekvivalentní # cosx / -sin ^ 2x + 1 / -sin ^ 2x #, který se pomocí nějakého trig, sníží na # -cotxcscx-csc ^ 2x #.

V tomto bodě jsme zjednodušili integraci # int1 / (cosx-1) dx # na # int-cotxcscx-csc ^ 2xdx #. Pomocí pravidla součtu se to stane:

# int-cotxcscxdx + int-csc ^ 2xdx #

První z nich je # cscx # (protože derivát # cscx # je # -cotxcscx #) a druhá je # cotx # (protože derivát # cotx # je # -csc ^ 2x #). Přidejte na konstantu integrace #C# a máte své řešení:

# int1 / (cosx-1) dx = cscx + cotx + C #

Jak zjistíte antiderivaci (e ^ x) / (1 + e ^ (2x))?

Arctan (e ^ x) + C "napište" e ^ x "dx jako" d (e ^ x) ", pak dostaneme" int (d (e ^ x)) / (1+ (e ^ x) ^ 2 ) "se substitucí y =" e ^ x ", dostaneme" int (d (y)) / (1 + y ^ 2) ", který se rovná" arctan (y) + C "Nyní nahradit zpět" y = e ^ x: arctan (e ^ x) + C

Jak najdete antiderivaci e ^ (sinx) * cosx?

Použijte u-substituci k nalezení inte ^ sinx * cosxdx = e ^ sinx + C. Všimněte si, že derivace sinx je cosx, a protože se objevují ve stejném integrálu, tento problém je vyřešen u-substitucí. Nechť u = sinx -> (du) / (dx) = cosx-> du = cosxdx inte ^ sinx * cosxdx se stane: inte ^ udu Tento integrál vyhodnocuje e ^ u + C (protože derivace e ^ u je e ^ u). Ale u = sinx, tak: inte ^ sinx * cosxdx = inte ^ udu = e ^ u + C = e ^ sinx + C

Jak najdete antiderivaci cos ^ 4 (x) dx?

Chcete rozdělit to pomocí trig identity získat pěkné, snadné integrály. cos ^ 4 (x) = cos ^ 2 (x) * cos ^ 2 (x) S cos ^ 2 (x) se můžeme snadno vypořádat přeskupením dvojitého úhlového kosinusového vzorce. cos ^ 4 (x) = 1/2 (1 + cos (2x)) * 1/2 (1 + cos (2x)) cos ^ 4 (x) = 1/4 (1 + 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) cos ^ 4 (x) = 1/4 (1 + 2cos (2x) + 1/2 (1 + cos (4x))) cos ^ 4 (x) = 3/8 + 1/2 * cos (2x) + 1/8 * cos (4x) So, int cos ^ 4 (x) dx = 3/8 * int dx + 1/2 * int cos (2x) dx + 1/8 * int cos (4x ) dx int cos ^ 4 (x) dx = 3 / 8x + 1/4 * sin (2x) + 1/32 * sin (4x) + C