Co (3 + i) ^ (1/3) se rovná + + tvaru?

Odpovědět:

#root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + root (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i #

Vysvětlení:

# 3 + i = sqrt (10) (cos (alfa) + i sin (alfa)) # kde #alpha = arctan (1/3) #

Tak

#root (3) (3 + i) = root (3) (sqrt (10)) (cos (alfa / 3) + i sin (alfa / 3)) #

# = kořen (6) (10) (cos (1/3 arctan (1/3)) + i sin (1/3 arctan (1/3))) #

# = kořen (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + kořen (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i #

Od té doby # 3 + i # je v Q1, tato hlavní kostka kořen # 3 + i # je také v Q1.

Dvě další krychle # 3 + i # jsou vyjádřitelné pomocí primitivního komplexu kostky jednoty #omega = -1 / 2 + sqrt (3) / 2 i #:

#omega (kořen (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + kořen (6) (10) hřích (1/3 arctan (1/3)) i) #

# = kořen (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3) + (2pi) / 3) + kořen (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3) + (2pi) / 3) i #

# omega ^ 2 (kořen (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + kořen (6) (10) hřích (1/3 arctan (1/3)) i) #

# = kořen (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3) + (4pi) / 3) + kořen (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3) + (4pi) / 3) i #