Jak zjistíte antiderivaci (e ^ x) / (1 + e ^ (2x))?

Odpovědět:

#arctan (e ^ x) + C #

Vysvětlení:

# "napište" e ^ x "dx jako" d (e ^ x) ", pak dostaneme" #

#int (d (e ^ x)) / (1+ (e ^ x) ^ 2) #

# "se substitucí y =" e ^ x ", dostaneme # #

#int (d (y)) / (1 + y ^ 2) #

# "což se rovná" #

#arctan (y) + C #

# "Nahradit zpět" y = e ^ x: #

#arctan (e ^ x) + C #

Odpovědět:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) "d" x = arctane ^ x + "c" #

Vysvětlení:

Chceme najít # inte ^ x / (1 + e ^ (2x)) "d" x = int1 / (1+ (e ^ x) ^ 2) e ^ x "d" x #

Teď ať # u = e ^ x # a tak bere rozdíl na obou stranách # du = e ^ xdx #. Nyní nahradíme obě tyto rovnice do integrálu

# int1 / (1 + u ^ 2) "d" u #

Toto je standardní integrál, který se vyhodnocuje # arctanu #. Nahrazení zpět #X# dostaneme konečnou odpověď:

#arctan e ^ x + "c" #

Odpovědět:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) dx = tan ^ -1 (e ^ x) + C #

Vysvětlení:

Nejdřív necháme # u = 1 + e ^ (2x) #. Integrovat s ohledem na # u #rozdělujeme derivací # u #, který je # 2e ^ (2x) #:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) dx = 1 / 2int e ^ x / (e ^ (2x) * u) d = 1 / 2min e ^ x / (e ^ x * e ^ x * u) t

# = 1 / 2min 1 / (e ^ x * u)

Integrovat s ohledem na # u #potřebujeme vše vyjádřené v termínech # u #, takže musíme vyřešit co # e ^ x # je z hlediska # u #:

# u = 1 + e ^ (2x) #

# e ^ (2x) = u-1 #

# 2x = ln (u-1) #

# x = 1 / 2ln (u-1) #

# x = ln ((u-1) ^ (1/2)) = ln (sqrt (u-1)) #

# e ^ x = e ^ (ln (sqrt (u-1)) = sqrt (u-1) #

Nyní to můžeme zastrčit zpět do integrálu:

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) d = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u)

Dále představíme substituci pomocí # z = sqrt (u-1) #. Derivát je:

# (dz) / (du) = 1 / (2sqrt (u-1) #

tak jsme se rozdělit, aby se integrovat s ohledem na # z # (pamatujte, že dělení je stejné jako vynásobení vzájemností):

1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) d = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) * 2sqrt (u-1) d = =

# = 2 / 2min 1 / u

Teď máme opět špatnou proměnnou, takže musíme vyřešit co # u # je rovna z hlediska # z #:

# z = sqrt (u-1) #

# u-1 = z ^ 2 #

# u = z ^ 2 + 1 #

To dává:

#int 1 / u dz = int 1 / (1 + z ^ 2) dz #

Toto je společný derivát # tan ^ -1 (z) #, takže dostaneme:

#int 1 / (1 + z ^ 2) d = tan ^ -1 (z) + C #

Vrátíme-li všechny náhrady, dostaneme:

# tan ^ -1 (z) + C = tan ^ -1 (sqrt (u-1)) + C = #

# = tan ^ -1 (sqrt (1 + e ^ (2x) -1) + C = tan ^ -1 ((e ^ (2x)) ^ (1/2) + C = #

# = tan ^ -1 (e ^ x) + C #