Jak najdete antiderivaci cos ^ 4 (x) dx?

Odpovědět:

Chcete rozdělit to pomocí trig identity získat pěkné, snadné integrály.

Vysvětlení:

# cos ^ 4 (x) = cos ^ 2 (x) * cos ^ 2 (x) #

Můžeme se s tím vypořádat # cos ^ 2 (x) # dostatečně snadno přeuspořádáním dvojitého úhlového kosinusového vzorce.

# cos ^ 4 (x) = 1/2 (1 + cos (2x)) * 1/2 (1 + cos (2x)) #

# cos ^ 4 (x) = 1/4 (1 + 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) #

# cos ^ 4 (x) = 1/4 (1 + 2cos (2x) + 1/2 (1 + cos (4x))) #

# cos ^ 4 (x) = 3/8 + 1/2 * cos (2x) + 1/8 * cos (4x) #

Tak, #int cos ^ 4 (x) dx = 3/8 * int dx + 1/2 * int cos (2x) dx + 1/8 * int cos (4x) dx #

#int cos ^ 4 (x) dx = 3 / 8x + 1/4 * sin (2x) + 1/32 * sin (4x) + C #

Jak zjistíte antiderivaci (e ^ x) / (1 + e ^ (2x))?

Arctan (e ^ x) + C "napište" e ^ x "dx jako" d (e ^ x) ", pak dostaneme" int (d (e ^ x)) / (1+ (e ^ x) ^ 2 ) "se substitucí y =" e ^ x ", dostaneme" int (d (y)) / (1 + y ^ 2) ", který se rovná" arctan (y) + C "Nyní nahradit zpět" y = e ^ x: arctan (e ^ x) + C

Jak najdete antiderivaci dx / (cos (x) - 1)?

Dělejte nějaké konjugované násobení, aplikujte některé trig a dokončete, abyste získali výsledek int1 / (cosx-1) dx = cscx + cotx + C Stejně jako u většiny problémů tohoto typu, vyřešíme to pomocí konjugovaného multiplikačního triku. Kdykoliv máte něco děleno něčím, co je něco plus / mínus něco (jako v 1 / (cosx-1)), je vždy užitečné vyzkoušet konjugované násobení, zejména s funkcemi trig. Začneme vynásobením 1 / (cosx-1) konjugátem cosx-1, což je cosx + 1: 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) Možná se

Jak najdete antiderivaci e ^ (sinx) * cosx?

Použijte u-substituci k nalezení inte ^ sinx * cosxdx = e ^ sinx + C. Všimněte si, že derivace sinx je cosx, a protože se objevují ve stejném integrálu, tento problém je vyřešen u-substitucí. Nechť u = sinx -> (du) / (dx) = cosx-> du = cosxdx inte ^ sinx * cosxdx se stane: inte ^ udu Tento integrál vyhodnocuje e ^ u + C (protože derivace e ^ u je e ^ u). Ale u = sinx, tak: inte ^ sinx * cosxdx = inte ^ udu = e ^ u + C = e ^ sinx + C