Jaké jsou extrémy a sedlové body f (x, y) = xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2)?

Odpovědět:

#(0,0)# je sedlový bod

# (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # a # (- 1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # jsou lokální maxima

# (1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # a # (- 1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # jsou místní minima

# (0, pm 1 / sqrt 2) # a # (pm 1 / sqrt 2,0) # jsou inflexní body.

Vysvětlení:

Pro obecnou funkci #F (x, y) # se stacionárním bodem na # (x_0, y_0) # máme expanzi Taylorovy řady

#F (x_0 + xi, y_0 + eta) = F (x_0, y_0) + 1 / (2!) (F_ {xx} xi ^ 2 + F_ {yy} eta ^ 2 + 2F_ {xy} xi eta) + ldoty #

Funkce

#f (x) = x y ^ ^ - x ^ 2-y ^ 2} #

my máme

# (del f) / (del x) = ye ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x y (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = y (1-2x ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

# (del f) / (del y) = xe ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x y (-2y) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = x (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

Je snadné vidět, že oba první deriváty zmizí u následujících rybníků

• #(0,0)#
• # (0, pm 1 / sqrt2) #
• # (pm 1 / sqrt2, 0) #
• # (pm 1 / sqrt2, pm 1 / sqrt2) #

Abychom prozkoumali povahu těchto stacionárních bodů, musíme se podívat na chování druhých derivátů.

Nyní

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = y (-4x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + y (1-2x ^ 2) (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = x y (4x ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

a podobně

# (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = xy (4y ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

a

# (del ^ 2 f) / (del xdel y) = (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x (1-2y ^ 2) (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = (1-2x ^ 2-2y ^ 2 + 4x ^ 2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = (1-2x ^ 2) (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

Tak pro #(0,0)# my máme # (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = 0 # a # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 1 # - tedy

#f (0 + xi, 0 + eta) = f (0,0) + xi eta = xi eta #

Pokud se přiblížíte #(0,0)# podél čáry # x = y #, toto se stává

#f (0 + xi, 0 + xi) = xi ^ 2 #

a tak #(0,0)# Je to samozřejmě minimum, pokud se přiblížíte z tohoto směru. Na druhou stranu, pokud se přiblížíte podél linie # x = -y # my máme

#f (0 + xi, 0-xi) = -xi ^ 2 #

a tak #(0,0)# je maximálně podél tohoto směru, Tím pádem #(0,0)# je sedlový bod.

Pro # (1 / sqrt2,1 / sqrt2) # to je snadno vidět

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = -2e ^ {- 1/2} <0 # a # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 0 #

což znamená, že

#f (1 / sqrt 2 + xi, 1 / sqrt 2 + eta) = f (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) -e ^ {- 1/2 (xi ^ 2 + eta ^ 2)} # #

Funkce tedy klesá podle toho, jak se vzdalujete # (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # a to je místní maximum. Je snadno vidět, že to samé platí # (- 1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # (toto mělo být zřejmé, protože funkce zůstává stejná pod # (x, y) do (-x, -y) #!

Opět pro oba # (1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # a # (- 1 / sqrt2,1 / sqrt2) # my máme

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = 2e ^ {- 1/2}> 0 # a # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 0 #

Oba tyto body jsou tedy místní minima.

Čtyři body # (0, pm 1 / sqrt2) # a # (pm 1 / sqrt2, 0) # jsou problematičtější - protože všechny deriváty druhého řádu v těchto bodech zmizí. Nyní se musíme podívat na deriváty vyššího řádu. Naštěstí pro to nemusíme opravdu tvrdě pracovat - další příjmy z derivátů

# (del ^ 3 f) / (del x ^ 3) = -2y (3-12x ^ 2 + 4x ^ 4) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

který je nenulový pro oba # (0, pm 1 / sqrt2) # a # (pm 1 / sqrt2, 0) #. To znamená, že to například znamená

#f (0 + xi, 1 / sqrt 2) = f (0,1 / sqrt 2) +1/3 ((del ^ 3 f) / (del x ^ 3)) _ {(0,1 / sqrt2) } xi ^ 3 + … #

který ukazuje, že se toto zvýší z # f (0,1 / sqrt 2) # v jednom směru, a pokles od ní v druhé. Tím pádem # (0,1 / sqrt2) # je bod inflexe. Stejný argument funguje i pro další tři body.