Jaké jsou extrémní a sedlové body f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2?

Odpovědět:

# {: ("Kritický bod", "Závěr"), ((0,0), "min"), ((-1, -2), "sedlo"), ((-1,2), "sedlo "), ((-5 / 3,0)," max "):} #

Vysvětlení:

Teorie identifikovat extrémy # z = f (x, y) # je:

Vyřešte současně kritické rovnice

# (částečný f) / (částečný x) = (částečný f) / (částečný y) = 0 t (tj # z_x = z_y = 0 #)
Vyhodnotit #f_ (x x), f_ (yy) a f_ (xy) (= f_ (yx)) # v každém z těchto kritických bodů. Proto hodnotit # Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # v každém z těchto bodů
Určete povahu extrému;

# {: (Delta> 0, "Existuje minimum, pokud" f_ (xx) <0), (, "a maximum, pokud" f_ (yy)> 0), (Delta <0, "je sedlový bod"), (Delta = 0, je nutná další analýza):} #

Takže máme:

# f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2 #

Najdeme první dílčí deriváty:

# (částečný f) / (částečný x) = 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x #

# (částečný f) / (částečný y) = 2xy + 2y #

Takže naše kritické rovnice jsou:

# 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x = 0 #

# 2xy + 2y = 0 #

Z druhé rovnice máme:

# 2y (x + 1) = 0 => x = -1, y = 0 #

titulky # x = -1 # do první rovnice a dostaneme:

# 6 + y ^ 2-10 = 0 => y ^ 2 = 4 => y = + - 2 #

titulky # y = 0 # do první rovnice a dostaneme:

# 6x ^ 2 + 0 ^ 2 + 10x = 0 => 2x (3x + 5) = 0 => x = -5 / 3,0 #

A tak máme čtyři kritické body se souřadnicemi;

# (-1,-2), (-1,2), (0,0), (-5/3,0) #

Podívejme se tedy nyní na druhé dílčí deriváty, abychom mohli určit povahu kritických bodů:

# (částečný ^ 2f) / (částečný x ^ 2) = 12x + 10 #

# (částečný ^ 2f) / (částečný y ^ 2) = 2x + 2 #

# (částečné ^ 2f) / (částečné x částečné y) = 2y (= (částečné ^ 2f) / (částečné y částečné x)) #

A musíme spočítat:

# Delta = (částečný ^ 2f) / (částečný x ^ 2) (částečný ^ 2f) / (částečný y ^ 2) - ((částečný ^ 2f) / (částečný x částečný y)) ^ 2 #

v každém kritickém bodě. Druhé dílčí hodnoty derivace, #Delta#a závěry jsou následující:

# {: ("Kritický bod", (částečný ^ 2f) / (částečný x ^ 2), (částečný ^ 2f) / (částečný y ^ 2), (částečný ^ 2f) / (částečný x částečný y), Delta, "Závěr"), ((0,0), 10,2,0, gt 0, f_ (xx)> 0 => "min"), ((-1, -2), - 2,0,4, lt 0, "sedlo"), ((-1,2), - 2,0,4, lt 0, "sedlo"), ((-5 / 3,0), - 10, -4 / 3,0, gt 0, f_ (xx) <0 => "max"):} #

Tyto kritické body vidíme, když se podíváme na 3D graf: