Co je míněno hranicí nekonečné posloupnosti?

Limit nekonečné posloupnosti nám říká o dlouhodobém chování.

Dává sled reálných čísel # a_n #, je to limit #lim_ (n až oo) a_n = lim a_n # je definována jako jediná hodnota, která se blíží sekvenci (pokud se blíží jakékoli hodnotě), když vytváříme index # n # větší. Limit sekvence vždy neexistuje. Pokud tomu tak je, pak se říká, že sekvence je konvergentní Jinak je to řečeno divergentní.

Dva jednoduché příklady:

• Zvažte posloupnost # 1 / n #. Je snadné vidět, že je to limit #0#. Ve skutečnosti, vzhledem k nějaké kladné hodnoty blízké #0#, můžeme vždy najít dost velkou hodnotu # n # takové # 1 / n # je menší než tato daná hodnota, což znamená, že její limit musí být menší nebo roven nule. Také, každý termín sekvence je větší než nula, takže je to limit musí být větší nebo roven nule. Proto je #0#.

• Vezměte konstantní sled #1#. To znamená pro každou danou hodnotu # n #, termín # a_n # sekvence je rovna #1#. Je jasné, že bez ohledu na to, jak velké jsme # n # hodnota sekvence je #1#. Takže je to limit #1#.

Pro přísnější definici, ať # a_n # být sledem reálných čísel (tj. #forall n v NN: a_n v RR #) a #epsilon in RR #. Pak číslo #A# se říká, že je omezit sekvence # a_n # pokud a pouze tehdy, když:

#forall epsilon> 0 existuje N v NN: n> N => | a_n - a | <epsilon #

Tato definice je ekvivalentní výše uvedené neformální definici, kromě toho, že nepotřebujeme ukládat jednotu pro limit (lze ji odvodit).