Jaký je jednotkový vektor, který je normální k rovině obsahující (i + k) a (i - 2 j + 3 k)?

Odpovědět:

# vecu = <(sqrt (3)) / 3, - (sqrt (3)) / 3, - (sqrt (3)) / 3> #

Vysvětlení:

Vektor, který je normální (ortogonální, kolmý) k rovině obsahující dva vektory, je také normální vůči oběma daným vektorům. Normální vektor můžeme najít tak, že vezmeme křížový produkt dvou daných vektorů. Pak můžeme najít jednotkový vektor ve stejném směru jako vektor.

Nejprve zapište každý vektor ve vektorové podobě:

# veca = <1,0,1> #

# vecb = <1, -2,3> #

Crossový výrobek, # vecaxxvecb # se nachází podle:

# vecaxxvecb = abs ((věci, vecj, veck), (1,0,1), (1, -2,3)) #

Pro i komponentu, máme:

#(0*3)-(-2*1)=0-(-2)=2#

Pro j komponentu, máme:

#-(1*3)-(1*1)=-3-1=-2#

Pro k komponentu, máme:

#(1*-2)-(0*1)=-2-0=-2#

Proto, # vecn = <2, -2, -2> #

Abychom to učinili jednotkovým vektorem, rozdělíme vektor jeho velikostí. Velikost je dána:

# | vecn | = sqrt ((n_x) ^ 2 + (n_y) ^ 2 + (n_z) ^ 2) #

# | vecn | = sqrt ((2) ^ 2 + (- 2) ^ 2 + (- 2) ^ 2) #

# | vecn | = sqrt (4 + 4 + 4) = sqrt (12) = 2sqrt3 #

Jednotkový vektor je pak dán:

# vecu = (vecaxxvecb) / (| vecaxxvecb |) = (vecn) / (| vecn |) #

#vecu = (<2, -2, -2>) / (2sqrt (3)) #

# vecu = <2 / (2sqrt (3)), - 2 / (2sqrt (3)), - 2 / (2sqrt (3))> #

# vecu = <1 / sqrt (3), - 1 / sqrt (3), - 1 / sqrt (3)> #

Racionalizací jmenovatele získáme:

# vecu = <(sqrt (3)) / 3, - (sqrt (3)) / 3, - (sqrt (3)) / 3> #