Rovnoramenný trojúhelník má strany A, B a C, přičemž strany B a C mají stejnou délku. Pokud se strana A pohybuje od (1, 4) do (5, 1) a plocha trojúhelníku je 15, jaké jsou možné souřadnice třetího rohu trojúhelníku?

Rovnoramenný trojúhelník má strany A, B a C, přičemž strany B a C mají stejnou délku. Pokud se strana A pohybuje od (1, 4) do (5, 1) a plocha trojúhelníku je 15, jaké jsou možné souřadnice třetího rohu trojúhelníku?
Anonim

Odpovědět:

Dva vrcholy tvoří základ délky 5, takže výška musí být 6, aby se dostala oblast 15. Patka je střed bodů a šest jednotek v obou kolmých směrech dává (33/5, 73/10)(335,7310) nebo (- 3/5, - 23/10) (35,2310).

Vysvětlení:

Pro tip: Snažte se držet konvence malých písmen pro trojúhelníkové strany a hlavice pro trojúhelníkové vrcholy.

Dostali jsme dva body a plochu rovnoramenného trojúhelníku. Tyto dva body tvoří základ, b = sq {(5-1) ^ 2 + (1-4) ^ 2} = 5. b=sq{(51)2+(14)2}=5.

Noha FF nadmořské výšky je střed dvou bodů, F = ((1 + 5) / 2, (4 + 1) / 2) = (3, 5/2) F=(1+52,4+12)=(3,52)

Směrový vektor mezi body je (1-5, 4-1)=(-4,3)(15,41)=(4,3) s velikostí 5, jak bylo právě vypočteno. Směrový vektor kolmice dostaneme tak, že zaměníme body a negujeme jeden z nich: (3,4)(3,4) musí mít také velikost pět.

Od této oblasti A = frac 1 2 b h = 15 A=12bh=15 dostaneme h = (2 * 15) /b=6.h=215b=6.

Musíme se tedy pohnout 66 jednotek od FF v každém kolmém směru, abychom získali náš třetí vrchol, který jsem nazval CC:

C = F pm 6 frac {(3,4)} {5} = (3, 5/2) pm 6/5 (3,4) C=F±6(3,4)5=(3,52)±65(3,4)

C = (33/5, 73/10) nebo C = (- 3/5, - 23/10) C=(335,7310)boC=(35,2310)

Kontrola: (5,1)-(1,4)=(4,-3)(5,1)(1,4)=(4,3)

(- 3/5, - 23/10)-(1,4)=(-8/5,-63/10)(35,2310)(1,4)=(85,6310)

Podepsaná oblast je pak polovina křížového produktu

A = frac 1 2 (4 (-63/10) - (-3) (- 8/5)) = -15 čtyřúhelníků {}

To je konec, ale pojďme trochu zobecnit odpověď. Zapomeňme na to, že to jsou rovnoramenné. Pokud máme C (x, y), plocha je dána vzorcem šňůry:

A = frac 1 2 | (1) (1) - (4) (5) + 5y-x + 4x-y | = 1/2 | 3x + 4y - 19 |

Tato oblast je 15:

15 = 1/2 (3x + 4y - 19) #

19 pm 30 = 3x + 4y

49 = 3x + 4y nebo -11 = 3x + 4y

Pokud tedy vrchol C leží na jedné z těchto dvou rovnoběžných čar, budeme mít trojúhelník oblasti 15.

Nechat PR = A být stranou rovnoramenného trojúhelníku se souřadnicemi jeho koncových bodů takto

Pto (1,4) a Rto (5,1)

Nechť jsou souřadnice třetího bodu trojúhelníku (x, y) .

Tak jako (x, y) je rovný od P a R můžeme psát

(x-1) ^ 2 + (y-4) ^ 2 = (x-5) ^ 2 + (y-1) ^ 2

=> x ^ 2-2x + 1 + y ^ 2-8y + 16 = x ^ 2-10x + 25 + y ^ 2-2y + 1

=> 8x-6y = 9

=> x = (9 + 6y) / 8 …… 1

Znovu (x, y) být rovný od P a R, kolmý klesal od (x, y) na PR musí to rozdělit, ať tato noha kolmého nebo středního bodu PR být T

Souřadnice Tto (3,2,5)

Nyní výška rovnoramenného trojúhelníku

H = sqrt ((x-3) ^ 2 + (y-2,5) ^ 2)

A základna rovnoramenného trojúhelníku

PR = A = sqrt ((1-5) ^ 2 + (4-1) ^ 2 = 5

Takže problémem jeho oblasti

1 / 2xxAxxH = 15

=> H = 30 / A = 30/5 = 6

sqrt ((x-3) ^ 2 + (y-2,5) ^ 2) = 6

=> (x-3) ^ 2 + (y-2,5) ^ 2 = 36 …. 2

2 a 1 dostaneme

((9 + 6y) / 8-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36

=> 1/64 (6y-15) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36

=> (6y-15) ^ 2 + 64 (y-2.5) ^ 2 = 36xx64

=> 36y ^ 2-180y + 225 + 64y ^ 2-320y + 400 = 48 ^ 2

=> 100y ^ 2-500y + 625 = 48 ^ 2

=> y ^ 2-5y + 6.25 = 4.8 ^ 2

=> (y-2.5) ^ 2 = 4,8 ^ 2

=> y = 2,5pm4,8

Tak y = 7,3 a y = -2,3

když y = 7,3

x = (9 + 6xx7.3) /8=6.6

když y = -2,3

x = (9 + 6xx (-2,3)) / 8 = -0,6

Souřadnice třetího bodu tedy budou

(6.6.7.3) na "Q na obrázku"

NEBO

(- 0,6, -2,3) na "S na obrázku"