Rovnoramenný trojúhelník má strany A, B a C, přičemž strany B a C mají stejnou délku. Pokud se strana A pohybuje od (1, 4) do (5, 1) a plocha trojúhelníku je 15, jaké jsou možné souřadnice třetího rohu trojúhelníku?

Odpovědět:

Dva vrcholy tvoří základ délky 5, takže výška musí být 6, aby se dostala oblast 15. Patka je střed bodů a šest jednotek v obou kolmých směrech dává # (33/5, 73/10)# nebo #(- 3/5, - 23/10) #.

Vysvětlení:

Pro tip: Snažte se držet konvence malých písmen pro trojúhelníkové strany a hlavice pro trojúhelníkové vrcholy.

Dostali jsme dva body a plochu rovnoramenného trojúhelníku. Tyto dva body tvoří základ, # b = sq {(5-1) ^ 2 + (1-4) ^ 2} = 5. #

Noha #F# nadmořské výšky je střed dvou bodů, #F = ((1 + 5) / 2, (4 + 1) / 2) = (3, 5/2) #

Směrový vektor mezi body je #(1-5, 4-1)=(-4,3)# s velikostí 5, jak bylo právě vypočteno. Směrový vektor kolmice dostaneme tak, že zaměníme body a negujeme jeden z nich: #(3,4)# musí mít také velikost pět.

Od této oblasti # A = frac 1 2 b h = 15 # dostaneme # h = (2 * 15) /b=6.#

Musíme se tedy pohnout #6# jednotek od #F# v každém kolmém směru, abychom získali náš třetí vrchol, který jsem nazval #C#:

# C = F pm 6 frac {(3,4)} {5} = (3, 5/2) pm 6/5 (3,4) #

# C = (33/5, 73/10) nebo C = (- 3/5, - 23/10) #

Kontrola: #(5,1)-(1,4)=(4,-3)#

# (- 3/5, - 23/10)-(1,4)=(-8/5,-63/10)#

Podepsaná oblast je pak polovina křížového produktu

# A = frac 1 2 (4 (-63/10) - (-3) (- 8/5)) = -15 čtyřúhelníků {} #

To je konec, ale pojďme trochu zobecnit odpověď. Zapomeňme na to, že to jsou rovnoramenné. Pokud máme C (x, y), plocha je dána vzorcem šňůry:

# A = frac 1 2 | (1) (1) - (4) (5) + 5y-x + 4x-y | = 1/2 | 3x + 4y - 19 | #

Tato oblast je #15#:

15 = 1/2 (3x + 4y - 19) #

# 19 pm 30 = 3x + 4y #

# 49 = 3x + 4y # nebo # -11 = 3x + 4y #

Pokud tedy vrchol C leží na jedné z těchto dvou rovnoběžných čar, budeme mít trojúhelník oblasti 15.

Nechat # PR = A # být stranou rovnoramenného trojúhelníku se souřadnicemi jeho koncových bodů takto

#Pto (1,4) # a #Rto (5,1) #

Nechť jsou souřadnice třetího bodu trojúhelníku # (x, y) #.

Tak jako # (x, y) # je rovný od P a R můžeme psát

# (x-1) ^ 2 + (y-4) ^ 2 = (x-5) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

# => x ^ 2-2x + 1 + y ^ 2-8y + 16 = x ^ 2-10x + 25 + y ^ 2-2y + 1 #

# => 8x-6y = 9 #

# => x = (9 + 6y) / 8 …… 1 #

Znovu # (x, y) # být rovný od P a R, kolmý klesal od # (x, y) # na # PR # musí to rozdělit, ať tato noha kolmého nebo středního bodu # PR # být # T #

Souřadnice #Tto (3,2,5) #

Nyní výška rovnoramenného trojúhelníku

# H = sqrt ((x-3) ^ 2 + (y-2,5) ^ 2) #

A základna rovnoramenného trojúhelníku

# PR = A = sqrt ((1-5) ^ 2 + (4-1) ^ 2 = 5 #

Takže problémem jeho oblasti

# 1 / 2xxAxxH = 15 #

# => H = 30 / A = 30/5 = 6 #

#sqrt ((x-3) ^ 2 + (y-2,5) ^ 2) = 6 #

# => (x-3) ^ 2 + (y-2,5) ^ 2 = 36 …. 2 #

2 a 1 dostaneme

# ((9 + 6y) / 8-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36 #

# => 1/64 (6y-15) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36 #

# => (6y-15) ^ 2 + 64 (y-2.5) ^ 2 = 36xx64 #

# => 36y ^ 2-180y + 225 + 64y ^ 2-320y + 400 = 48 ^ 2 #

# => 100y ^ 2-500y + 625 = 48 ^ 2 #

# => y ^ 2-5y + 6.25 = 4.8 ^ 2 #

# => (y-2.5) ^ 2 = 4,8 ^ 2 #

# => y = 2,5pm4,8 #

Tak # y = 7,3 a y = -2,3 #

když # y = 7,3 #

# x = (9 + 6xx7.3) /8=6.6#

když # y = -2,3 #

# x = (9 + 6xx (-2,3)) / 8 = -0,6 #

Souřadnice třetího bodu tedy budou

# (6.6.7.3) na "Q na obrázku" #

NEBO

# (- 0,6, -2,3) na "S na obrázku" #