Jaké jsou asymptoty a odstranitelné nespojitosti, pokud existují, f (x) = (3x ^ 2 + 2x-1) / (x ^ 2-4)?

Odpovědět:

Svislé asymptoty jsou # x = 2 # a # x = -2 #

Horizontální asymptota je # y = 3 #

Žádná šikmá asymptota

Vysvětlení:

Pojďme faktorizovat čitatele

# 3x ^ 2 + 2x-1 = (3x-1) (x + 1) #

Jmenovatelem je

# x ^ 2-4 = (x + 2) (x-2) #

Proto, #f (x) = ((3x-1) (x + 1)) / ((x + 2) (x-2)) #

Doména #f (x) # je # RR- {2, -2} #

Pro zjištění vertikálních asymptot vypočítáme

#lim_ (x-> 2 ^ -) f (x) = 15 / (0 ^ -) = -oo #

#lim_ (x-> 2 ^ +) f (x) = 15 / (0 ^ +) = + oo #

tak, Vertikální asymptota je # x = 2 #

#lim_ (x -> - 2 ^ -) f (x) = 7 / (0 ^ +) = + oo #

#lim_ (x -> - 2 ^ +) f (x) = 7 / (0 ^ -) = -oo #

Vertikální asymptota je # x = -2 #

Pro výpočet horizontálních asymptot vypočítáme limit jako #x -> + - oo #

#lim_ (x -> + oo) f (x) = lim_ (x -> + oo) (3x ^ 2) / (x ^ 2) = 3 #

#lim_ (x -> - oo) f (x) = lim_ (x -> - oo) (3x ^ 2) / (x ^ 2) = 3 #

Horizontální asymptota je # y = 3 #

Neexistuje žádný šikmý asymptot jako thr stupeň čitatele je #=# stupně jmenovatele

graf {(3x ^ 2 + 2x-1) / (x ^ 2-4) -14,24, 14,24, -7,12, 7,12}

Odpovědět:

# "vertikální asymptoty na" x = + - 2 #

# "horizontální asymptota na" y = 3 #

Vysvětlení:

Jmenovatel f (x) nemůže být nulový, protože by to nedefinovalo f (x). Vyrovnání jmenovatele na nulu a řešení dává hodnoty, které x nemůže být, a pokud je čitatel pro tyto hodnoty nenulový, pak jsou vertikální asymptoty.

# "vyřešit" x ^ 2-4 = 0rArr (x-2) (x + 2) = 0 #

# rArrx = -2 "a" x = 2 "jsou asymptoty" #

# "horizontální asymptoty se vyskytují jako" #

#lim_ (xto + -oo), f (x) toc "(konstanta)" #

rozdělit termíny na čitatel / jmenovatel nejvyšší silou x, to znamená # x ^ 2 #

#f (x) = ((3x ^ 2) / x ^ 2 + (2x) / x ^ 2-1 / x ^ 2) / (x ^ 2 / x ^ 2-4 / x ^ 2) = (3 + 2 / x-1 / x ^ 2) / (1-4 / x ^ 2) #

tak jako # xto + -oo, f (x) až (3 + 0-0) / (1-0) #

# rArry = 3 "je asymptota" #

# "nejsou odstranitelné nespojitosti" #

graf {(3x ^ 2 + 2x-1) / (x ^ 2-4) -10, 10, -5, 5}