Jedna jízdenka je náhodně nakreslena z pytle obsahujícího 30 jízdenek číslovaných od 1 do 30. Jak zjistíte pravděpodobnost, že se jedná o násobek 2 nebo 3?

Odpovědět:

#2/3#

Vysvětlení:

Zvažte posloupnosti:

Násobky 2#->#2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30

Násobky 3# -> 3, barva (červená) (6), 9, barva (červená) (12), 15, barva (červená) (18), 21, barva (červená) (24), 27, barva (červená) (30) #

Všimněte si, že násobky 3, které jsou zbarvené červeně, se také vyskytují v násobcích 2.

Celkový počet dostupných čísel je tedy 15 + 5 = 20

Takže pravděpodobnost je #20/30=2/3#

Odpovědět:

Pravděpodobnost je #2/3#.

Vysvětlení:

Používáme souhrnné pravidlo pravděpodobnosti, která uvádí, že pro všechny dvě události #A# a # B #,

#P (A "nebo" B) = P (A) + P (B) -P (A "a" B) #

Pojďme to ilustrovat s výše uvedenou otázkou jako příklad.

Pro tuto otázku jsme nechali #A# být událost, že lístek je násobek 2, a my necháme # B # být událost, která je násobkem 3. Z 30 karet bude polovina z nich násobkem 2: #{2, 4, 6, …, 28, 30}.# Takže máme:

#P (A) = 15/30 = 1/2 #

A z 30 karet bude 10 násobků 3: #{3, 6, 9, …, 27, 30},# dává nám

#P (B) = 10/30 = 1/3 #

Když tedy tyto dvě pravděpodobnosti přidáme společně, dostaneme

#P (A) + P (B) = 15/30 + 10/30 #

#color (bílá) (P (A) + P (B)) = 25 / 30color (bílá) "XXXX" = 5/6 #

Můžeme být v pokušení zastavit se tam, ale mýlili bychom se. Proč? Protože jsme dvojnásobně pravděpodobnosti výběru některých čísel. Když sestavíme obě sady, je snadné zjistit, které z nich:

# {barva (bílá) (1, 2), barva (bílá) (3, 4), barva (bílá) (5, 6), barva (bílá) (7, 8), barva (bílá) (9,) 10, barva (bílá) (11,) 12, …, barva (bílá) (27,) 28, barva (bílá) (29,) 30} #

# {barva (bílá) (1, 2, 3), barva (bílá) (4, 5,) 6, barva (bílá) (7, 8,) 9, barva (bílá) (10, 11,) 12, …, 27, barva (bílá) (28, 29,) 30} #

Dvakrát jsme spočítali všechny násobky 6 - tedy všechna čísla, která jsou násobky oba 2 a 3. Proto musíme odečíst pravděpodobnost "A a B" z výše uvedené částky; odstraní dvojí započítání jakéhokoli výsledku, který je společný #A# a # B #.

Co je #P (A "a" B) #? Je to pravděpodobnost, že lístek bude současně násobkem 2 a zároveň 3 - jinými slovy násobkem 6. V 30 jízdenkách je možných 5 takových výsledků, takže:

#P (A "a" B) = 5/30 = 1/6 #

Vracíme se k našemu původnímu vzorci a máme

#P (A "nebo" B) = P (A) + P (B) -P (A "a" B) #

#color (bílá) (P (A "nebo" B)) = 15/30 + 10 / 30-5 / 30 #

#color (bílá) (P (A "nebo" B)) = 20 / 30color (bílá) "XXXXXXXi" = 2/3 #.