Matematicky odvodit kořeny barvy (bílá) ("d") y = x ^ 3-3x-1 = 0?

Odpovědět:

#x = 2 cos (pi / 9 + (2npi) / 3) "" # pro #n = 0, 1, 2 #

Vysvětlení:

Vzhledem k:

# x ^ 3-3x-1 = 0 #

Trigonometrická substituce

Od téhle krychle #3# Skutečné nuly, Cardanoova metoda bude mít za následek výrazy zahrnující neredukovatelné kořeny kostek komplexních čísel. Cardanova metoda není špatná, ale není příliš přátelská, pokud kořeny krychlí nemají jednoduchou formu.

Jako alternativu v takových případech bych se rozhodl použít goniometrickou substituci.

Nechat:

#x = k cos theta #

Trik je vybrat # k # takový, že výsledný výraz obsahuje # 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta = cos 3 theta #.

My máme:

# 0 = x ^ 3-3x-1 #

#color (bílá) (0) = k ^ 3 cos ^ 3 theta - 3k cos theta - 1 #

#color (bílá) (0) = k (k ^ 2 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) - 1 #

#color (bílá) (0) = 2 (4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) - 1 "" # s # k = 2 #

#color (white) (0) = 2cos 3theta - 1 #

Tak:

#cos 3 theta = 1/2 #

Tak:

# 3 theta = + -pi / 3 + 2npi "" # pro každé celé číslo # n #

Tak:

#theta = + -pi / 9 + (2npi) / 3 "" # pro každé celé číslo # n #

To dá #3# odlišné možné hodnoty #x = k cos theta #…

#x = 2 cos theta = 2 cos (pi / 9 + (2npi) / 3) "" # pro #n = 0, 1, 2 #.