Rozsah e ^ x / ([x] +1), x> 0 a kde [x] označuje největší celé číslo?

Odpovědět:

#f: (0, + oo) -> (1/2, + oo) #

Vysvětlení:

Předpokládám, že #X# je nejmenší celé číslo větší než #X#. V následující odpovědi použijeme notaci #ceil (x) #, nazývaná funkce stropu.

Nechat #f (x) = e ^ x / (ceil (x) +1) #. Od té doby #X# je přísně větší než #0#, to znamená, že doména #F# je # (0, + oo) #.

Tak jako #x> 0 #, #ceil (x)> 1 # a od té doby # e ^ x # je vždy pozitivní, #F# je vždy přísně větší než #0# ve své oblasti. Je důležité poznamenat, že #F# je ne injekční a není také spojitá na přirozených číslech. Abychom to dokázali, nechť # n # být přirozené číslo:

# R_n = lim_ (x-> n ^ +) f (x) = lim_ (x-> n ^ +) e ^ x / (ceilx + 1) #

Protože #x> n #, #ceil (x) = n + 1 #.

# R_n = e ^ n / (n + 2) #

# L_n = lim_ (x-> n ^ -) f (x) = lim_ (x-> n ^ -) e ^ x / (ceilx + 1) #

Podobně, #ceil (x) = n #.

#L_n = e ^ n / (n + 1) #

Protože levý a pravý oboustranný limit nejsou rovny, #F# není spojitá u celých čísel. Taky, #L> R # pro všechny #nv NN #.

Tak jako #F# se zvyšuje v intervalech ohraničených kladnými celými čísly, "nejmenší hodnoty" na interval budou jako #X# blíží se dolní hranici zprava.

Proto minimální hodnota #F# bude

# R_0 = lim_ (x-> 0 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 0 ^ +) e ^ x / (ceil (x) +1) = e ^ 0 / (0 + 2) = 1 / 2 #

Toto je dolní hranice rozsahu #F#.

I když to není opravdu správné říkat to #F# roste, je to ve smyslu asymptoticky, blíží se nekonečno - jak bylo prokázáno níže:

#lim_ (x-> oo) f (x) = lim_ (x-> oo) e ^ x / (strop (x) +1) #

Tak jako #ceilx> = x #existuje a #delta <1 # takové # ceilx = x + delta #:

# = lim_ (x-> oo) e ^ x / (x + delta + 1) #

Nechat #u = x + delta + 1 => x = u-delta-1 #.

# = lim_ (u-> oo) e ^ (u-delta-1) / u = lim_ (u-> oo) e ^ u / u * 1 / e ^ (delta + 1) #

# e ^ u # exponenciálně se zvyšuje # u # dělá tak lineárně, to znamená

#lim_ (u-> oo) e ^ u / u = oo #

#:. lim_ (u-> oo) e ^ u / u * 1 / e ^ (delta + 1) = oo * 1 / e ^ (delta + 1) = oo #

#:. lim_ (x-> oo) f (x) = oo #

Proto rozsah #F# je

# "Rozsah" = (1/2, oo) #

Interval je otevřen vlevo, protože #http: // 2 # je stále #f (0) #, a jako #X# přístupů #0^+#, #f (x) # pouze přístupy #http: // 2 #; nikdy to není stejné.