Permutace loterie?

Odpovědět:

Viz. níže:

Vysvětlení:

S permutací, pořadí losování záleží. Protože se díváme na remízy s náhradou, každá číslice má a #1/10# pravděpodobnost čerpání. To znamená, že pro každý výběr máme:

# 1 / 10xx1 / 10xx1 / 10xx1 / 10 = 1 / (10 000) =.

pravděpodobnost čerpání našeho čísla.

Pokud však otázka říká, že se čtyřmi nakreslenými čísly mohou být přeuspořádány do jakékoliv permutace, pak to, o čem vlastně mluvíme, je kombinací (kde na pořadí losování nezáleží). Tyto kombinace jsou opět provedeny s náhradou, a proto se musíme podívat na každý případ zvlášť.

A

Tady je #4/10# pravděpodobnost kreslení 6, 7, 8 nebo 9 na prvním tahu. Pak #3/10# pravděpodobnost čerpání jednoho ze zbývajících 3 čísel ve druhém tahu. A tak dále. To dává:

# 4 / 10xx3 / 10xx2 / 10xx1 / 10 = (4!) / 10 ^ 4 = 24 / (10 000) =..

b

Tady je #3/10# pravděpodobnost kreslení buď 6,7, nebo 8 v prvním tahu:

# 3 / 10xx (…) #

Pokud jsme při prvním losování nakreslili 8 (a je zde 50% šance, že tak učiní), pak druhá, třetí a čtvrtá remíza budou mít pravděpodobnost # 3/10, 2/10 a 1/10 #.

Zbývajících 50% času však nakreslíme buď 6 nebo 7. Pokud tak učiníme, pak se musíme podívat na trochu více pro náš výpočet:

# 3 / 10xx (1 / 2xx (3 / 10xx2 / 10xx1 / 10) +1/2 (…)) #

S druhým tahem (po nakreslení buď 6 nebo 7) můžeme kreslit buď 8 (což se stane #2/3# času) nebo jiné ne-8 číslo (které se stane druhým #1/3#).

Pokud bychom nakreslili 8, třetí a čtvrtá remíza budou na pravděpodobnostech na # 2/10 a 1/10 #. Pokud bychom však nakreslili jiné ne-8 číslo, musíme udělat trochu více práce:

# 3 / 10xx (1 / 2xx (3 / 10xx2 / 10xx1 / 10) + 1 / 2xx (2 / 3xx (2 / 10xx1 / 10) + (1 / 3xx (…)))) #)

Pro třetí a čtvrtou remízu a zbývající pouze 8s existuje a #1/10# pravděpodobnost čerpání jako třetí a čtvrté číslo:

# 3 / 10xx (1 / 2xx (3 / 10xx2 / 10xx1 / 10) + 1 / 2xx (2 / 3xx (2 / 10xx1 / 10) + (1 / 3xx (1 / 10xx1 / 10)))) #)

Pojďme zhodnotit:

# 3 / 10xx (1 / 2xx (3 / 10xx2 / 10xx1 / 10) + 1 / 2xx (2 / 3xx (2 / 10xx1 / 10) + (1 / 3xx1 / 100)) #)

# 3 / 10xx (1 / 2xx (3 / 10xx2 / 10xx1 / 10) + 1 / 2xx (4/300 + 1/300)) #

# 3 / 10xx (1 / 2xx (6/1000) +5/600) #

# 3 / 10xx (6/2000 + 5/600) #

# 3 / 10xx (18/6000 + 50/6000) #

# 3 / 10xx68 / 6000 = 68/20000 = 34/10000 =.34% #

C

Tady je #2/10# pravděpodobnost kreslení buď 7 nebo 8:

# 2 / 10xx (…) #

Pokud jsme nakreslili 7 (50% šanci), pak na druhé remíze, pokud nakreslíme 8 (#2/3# šance), třetí a čtvrtá remíza bude na # 2/10 a 1/10 # pravděpodobností. Máme stejnou situaci, kdybychom překlopili flop 7 pro 8 a 8 pro 7. A tak:

# 2 / 10xx (2xx1 / 2xx2 / 3xx2 / 10xx1 / 10 + …) #

Pokud jsme nakreslili 7 na první i na druhou (#1/3# remíza, pak můžeme čerpat pouze 8s za třetí a čtvrtou remízu. To platí i v případě, že na první a druhou remízu čerpáme 8s - na třetí a čtvrtou remízu můžeme čerpat pouze 7s:

# 2 / 10xx (2xx1 / 2xx2 / 3xx2 / 10xx1 / 10 + 2xx1 / 2xx1 / 3xx1 / 10xx1 / 10) #

A vyhodnotit:

# 2 / 10xx (4/300 + 1/300) = 10/3000 = 0.bar3% #

d

Na prvním tahu můžeme čerpat pouze 7 nebo 8, s pravděpodobností #2/10#:

# 2 / 10xx (…) #

Kdybychom nakreslili 7 (a #1/4# šanci), pak můžeme čerpat pouze 8s za druhou, třetí a čtvrtou remízu.

Pokud bychom nakreslili 8, musíme se podívat dále:

# 2 / 10xx (1 / 4xx1 / 10xx1 / 10xx1 / 10 + 3 / 4xx …) #

Na druhém tahu (po prvním tahu 8) můžeme čerpat buď 7 nebo 8.

Pokud bychom nakreslili 7 (#1/3# šance), třetí a čtvrtá remíza musí být 8s.

Pokud bychom nakreslili 8, bude třetí a čtvrtá remíza na # 2/10 a 1/10 #:

# 2 / 10xx (1 / 4xx1 / 10xx1 / 10xx1 / 10 + 3 / 4xx (1 / 3xx1 / 10xx1 / 10 + 2 / 3xx2 / 10xx1 / 10)) #

Pojďme zhodnotit:

# 2 / 10xx (1 / 4xx1 / 10xx1 / 10xx1 / 10 + 3 / 4xx (1/300 + 4/300)) #

# 2 / 10xx (1/4000 + 5/400) #

# 2 / 10xx51 / 4000 = 51/20000 =.255% #