Jaký je jednotkový vektor, který je normální k rovině obsahující (- 4i + 5 j-k) a # (2i + j - 3k)?

Odpovědět:

Jednotkový vektor je # = <- 1 / sqrt3, -1 / sqrt3, -1 / sqrt3> #

Vysvětlení:

Normální vektor kolmý k rovině se vypočítá s determinantem

# | (věci, vecj, veck), (d, e, f), (g, h, i) | #

kde # 〈D, e, f〉 # a # 〈G, h, i〉 # jsou 2 vektory roviny

Tady máme #veca = 〈- 4,5, -1〉 # a # vecb = 〈2,1, -3〉 #

Proto, # | (věci, vecj, veck), (-4,5, -1), (2,1, -3) | #

# = věci | (5, -1), (1, -3) | -vecj | (-4, -1), (2, -3) | + veck | (-4,5), (2,1) | #

# = věci (5 * -3 + 1 * 1) -vecj (4 * 3 + 1 * 2) + veck (-4 * 1-2 * 5) #

# = 〈- 14, -14, -14〉 = vecc #

Ověření provedením dvoubodových výrobků

#〈-14,-14,-14〉.〈-4,5,-1〉=-14*-4+-14*5+14*1=0#

#〈-14,-14,-14〉.〈2,1,-3〉=-28-14+14*3=0#

Tak, # vecc # je kolmá na # veca # a # vecb #

# || vecc || = sqrt (14 ^ 2 + 14 ^ 2 + 14 ^ 2) = 14sqrt3 #

Jednotkový vektor je

# hatc = 1 / (|| vecc ||) vecc = 1 / (14sqrt3) 〈- 14, -14, -14〉 #

# = <-1 / sqrt3, -1 / sqrt3, -1 / sqrt3> #