Jak mohu tyto otázky vyřešit?

Odpovědět:

Pro rovnici #cos (theta) -sin (theta) = 1 #, řešení je # theta = 2kpi # a # -pi / 2 + 2kpi # pro celá čísla # k #

Vysvětlení:

Druhá rovnice je #cos (theta) -sin (theta) = 1 #.

Zvažte rovnici #sin (pi / 4) cos (theta) -cos (pi / 4) sin (theta) = sqrt (2) / 2 #. Všimněte si, že toto je ekvivalentní předchozí rovnici jako #sin (pi / 4) = cos (pi / 4) = sqrt (2) / 2 #.

Pak, s využitím skutečnosti, že #sin (alphapmbeta) = sin (alfa) cos (beta) pmcos (alfa) sin (beta) #máme rovnici:

#sin (pi / 4-theta) = sqrt (2) / 2 #.

Připomeňme si to #sin (x) = sqrt (2) / 2 # když # x = pi / 4 + 2kpi # a # x = (3pi) / 4 + 2kpi # pro celá čísla # k #.

Tím pádem, # pi / 4-theta = pi / 4 + 2kpi #

nebo

# pi / 4-theta = (3pi) / 4 + 2kpi #

Konečně máme # theta = 2kpi # a # -pi / 2 + 2kpi # pro celá čísla # k #.

Odpovědět:

Pro rovnici #tan (theta) -3cot (theta) = 0 #, řešení je # theta = pi / 3 + kpi # nebo # theta = (2pi) / 3 + kpi # pro celá čísla # k #.

Vysvětlení:

Zvažte první rovnici #tan (theta) -3cot (theta) = 0 #. Víme, že #tan (theta) = 1 / lůžko (theta) = sin (theta) / cos (theta) #.

Tím pádem, #sin (theta) / cos (theta) - (3cos (theta)) / sin (theta) = 0 #.

Pak, # (sin ^ 2 (theta) -3cos ^ 2 (theta)) / (sin (theta) cos (theta)) = 0 #.

Teď když #sin (theta) cos (theta) 0 #, můžeme bezpečně násobit obě strany #sin (theta) cos (theta) #. To ponechává rovnici:

# sin ^ 2 (theta) -3color (červená) (cos ^ 2 (theta)) = 0 #

Nyní použijte identitu # cos ^ 2 (theta) = barva (červená) (1-sin ^ 2 (theta)) # do červené části výše uvedené rovnice. Nahrazení tohoto v nás dává:

# sin ^ 2 (theta) -3 (barva (červená) (1-sin ^ 2 (theta)) = 0 #

# 4sin ^ 2 (theta) -3 = 0 #

# sin ^ 2 (theta) = 3/4 #

#sin (theta) = pmsqrt (3) / 2 #

Řešení je tedy # theta = pi / 3 + kpi # nebo # theta = (2pi) / 3 + kpi # pro celá čísla # k #.

(Připomeňme, že jsme požadovali #sin (theta) cos (theta) 0 #. Žádné z výše uvedených řešení by nám nedalo #sin (theta) cos (theta) = 0 #, takže jsme v pohodě.)