Která z následujících tvrzení jsou pravdivá / nepravdivá? (i) R² má nekonečně mnoho nenulových, správných vektorových podprostorů (ii) Každý systém homogenních lineárních rovnic má nenulové řešení.

Odpovědět:

# #

# "(i) Pravda." #

# "(ii) False." #

Vysvětlení:

# #

# "Proofs." #

# "(i) Můžeme vytvořit takový soubor podprostorů:" #

# "1)" celé r v RR, "let:" qad quad V_r = (x, r x) v RR ^ 2. #

# "Geometricky," V_r "je přímka procházející počátkem" R ^ 2, "svahu" r. #

# "2) Zkontrolujeme, zda tyto podprostory opravňují tvrzení (i)." #

# "3) Jasně:" qquad quad qquad quad qquad qquad qquad V_r sube RR ^ 2. #

# "4) Zkontrolujte, zda:" qquad quad V_r "je správný podprostor" ^ ^ 2. #

# "Let:" qquad u, v ve V_r, al, beta v RR. qquad qquad quad quad "Ověřte si, že:" quad al u + beta v Vr. #

# u, v v_r rrrr = = (x_1, r x_1), v = (x_2, r x_2); "pro některé" x_1, x_2 v RR #

# qquad quad qquad:. qad quad al u + beta v = alfa (x_1, r x_1) + beta (x_2, r x_2) #

# qquad qquad quad qquad qquad quad qquad qquad quad quad = alfa (x_1, r x_1) + beta (x_2, r x_2) #

qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad quad = (al x_1, a r x_1) + (beta x_2, beta r x_2) #

# qquad qquad quad qquad qquad quad qquad qquad quad quad = (x x_1 + beta x_2, a r x_1 + beta r x_2) # rq_1 +

qquad qquad qquad qquad qquad quad qquad qquad qquad quad = (al x_1 + beta x_2, r (x x_1 + beta x_2)) # qqad qquad qquad qquad

# qquad qad quad qquad qquad quad quad = x_3, r x_3 ve V_r; qquad "s" x_3 = alfa x_1 + beta x_2. #

# "So:" qquad quad qquadu, v V_r, al, beta v RR číslo rArr quad al u + beta v V_r. #

# "Tak:" qquad quad quad qquad qquad quad quad V_r "je podprostor" ^ ^ 2. #

# "Chcete-li vidět, že" V_r "je nenulové, poznamenejte si, že:" #

# qquad quad qquad qquad qquad qquad (1, r) v V_r, "a" (1, r) ne (0, 0).

# "Chcete-li vidět, že" V_r "je správné," "všimněte si, že" (1, r + 1)!

# (1, r + 1) v V_r rArr "(podle konstrukce" V_r ")" quad r cd 1 = r + 1 #

# qquad quad qquad qquad qquad qquad rArr r = r + 1, "prostě nemožné." #

# "Tak qquad quad qquad V_r" je nenulový, správný podprostor "^ ^ 2." qquad qquad qquad (1) #

# "5) Nyní ukažte, že existuje nekonečně mnoho takových podprostorů" V_r. #

# "Let:" qquad qad r, s v RR. qquad qquad quad quad "Ukážeme:" quad r s s rrr V_r ne V_s. #

# "Podle definice:" quad (1, r) = (1, r cd 1) ve V_r; (1, s) = (1, s cdot 1) ve V_s. #

# "Jasně:" qquad quad qquad qquad qquad r s s rArr (1, r) ne (1, s). #

# "Tak:" qquad quad qquad qquad qquad qad r s s rArr V_r ne V_s. #

"" Takže každý "r v RR" vytváří zřetelný podprostor "V_r. #

# "Toto spolu s (1) dává:" #

# "Rodina podprostorů:" r v RR, "je nekonečná rodina" # #

# "nenulových, vlastních podprostorů" ^ ^ 2. qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad čtverec #

# "(ii) Toto je vlastně snadné. Pokud je systém čtvercový a" #

# "matice koeficientu systému invertible, tam bude pouze" #

# "nulové řešení." #

# "Předpokládejme:" qquad quad quad A "je čtvercová, invertible matice." #

# "Uvažujme o homogenním systému:" #

qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad A x = 0. #

# "Tak, jako" A je invertible: "#

qquad qquad quad qquad qquad quad qquad A ^ {- 1} cd A x = A ^ {- 1} cd 0. #

# qquad quad qquad qquad:. qquad qquad qquad qquad I x = 0. #

# qquad quad qquad qquad:. qquad quad qquad qquad x = 0. #

"Tak homogenní systém" A x = 0, "nemá" #

# "nenulové řešení." Qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad čtverec # qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad kvadrát qquad qquad qquad qquad qquad kvadrát qquad qquad qquad qquad qquad square # qquad