Bez grafů, jak se rozhodujete, zda má následující systém lineárních rovnic jedno řešení, nekonečně mnoho řešení nebo žádné řešení?

Odpovědět:

Systém # N # lineární rovnice s # N # neznámé proměnné, které neobsahují lineární závislost mezi rovnicemi (jinými slovy, její determinant nenulové) bude mít jedno a jediné řešení.

Vysvětlení:

Uvažujme o systému dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými proměnnými:

# Ax + By = C #

# Dx + Ey = F #

Pokud pár # (A, B) # není úměrná dvojici # (D, E) # (to znamená, že takové číslo neexistuje # k # že # D = kA # a # E = kB #, který může být kontrolován podmínkou # A * E-B * D! = 0 #) pak existuje jedno a jediné řešení:

# x = (C * E-B * F) / (A * E-B * D) #, # y = (A * F-C * D) / (A * E-B * D) #

Příklad:

# x + y = 3 #

# x-2y = -3 #

Řešení:

# x = (3 * (- 2) -1 * (- 3)) / (1 * (- 2) -1 * 1) = 1 #

# y = (1 * (- 3) -3 * 1) / (1 * (- 2) -1 * 1) = 2 #

Pokud pár # (A, B) # je úměrná dvojici # (D, E) # (což znamená, že takové číslo existuje # k # že # D = kA # a # E = kB #, který může být kontrolován podmínkou # A * E-B * D = 0 #) existují dva případy:

a) nekonečný počet řešení, pokud. t #C# a #F# jsou proporcionální se stejným koeficientem jako #A# a # D #, to je # F = kC #, kde # k # je stejný koeficient proporcionality;

Příklad:

# x + y = 3 #

# 2x + 2y = 6 #

Tady # k = 2 # pro všechny páry: # D = 2A #, # E = 2B #, # F = 2C #.

Druhá rovnice je triviální důsledek první (jen vynásobte první rovnici pomocí #2#), a proto neposkytuje žádné další informace o neznámých, účinně snižujících počet rovnic na 1.

b) žádné řešení, pokud. t #F! = KC #

Příklad:

# x + 4y = 3 #

# 2x + 8y = 5 #

V tomto případě se protiklady navzájem protirečí, protože vynásobením první 2 můžeme odvodit rovnici # 2x + 8y = 6 #, s nímţ nemůţeme mít společné řešení # 2x + 8y = 5 # protože levé části těchto dvou rovnic jsou se rovnat, ale pravé části nejsou.