Odpovědět:
# {: ("Kritický bod", "Závěr"), ((0,0,0), "sedlo"):} #
Vysvětlení:
Teorie identifikovat extrémy
- Vyřešte současně kritické rovnice
# (částečný f) / (částečný x) = (částečný f) / (částečný y) = 0 t (tj# f_x = f_y = 0 # ) - Vyhodnotit
#f_ (x x), f_ (yy) a f_ (xy) (= f_ (yx)) # v každém z těchto kritických bodů. Proto hodnotit# Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # v každém z těchto bodů - Určete povahu extrému;
# {: (Delta> 0, "Existuje minimum, pokud" f_ (xx) <0), (, "a maximum, pokud" f_ (yy)> 0), (Delta <0, "je sedlový bod"), (Delta = 0, je nutná další analýza):} #
Takže máme:
# f (x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2)) #
# "" = xye ^ (y ^ 2) - xye ^ (x ^ 2) #
Najdeme první dílčí deriváty:
# (částečný f) / (částečný x) = ye ^ (y ^ 2) + {(-xy) (2xe ^ (x ^ 2)) + (-y) (e ^ (x ^ 2))} # #
# ye ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) #
# (částečný f) / (částečný y) = {(xy) (2ye ^ (y ^ 2)) + (x) (e ^ (y ^ 2))} - xe ^ (x ^ 2) #
# = 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) #
Takže naše kritické rovnice jsou:
# ye ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) = 0 => y (e ^ (y ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #
# 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) = 0 => x (2y ^ 2e ^ (y ^ 2) + e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #
Z těchto rovnic máme:
# y = 0 # nebo# e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) = 2x ^ 2e ^ (x ^ 2) #
# x = 0 # nebo# e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2) = -2y ^ 2e ^ (y ^ 2) #
Jediné současné řešení je
A tak máme jeden kritický bod na počátku
Podívejme se tedy nyní na druhé dílčí deriváty, abychom mohli určit povahu kritického bodu (cituji tyto výsledky):
# (částečný ^ 2f) / (částečný x ^ 2) = -4x ^ 3ye ^ (x ^ 2) -6xye ^ (x ^ 2) #
# (částečný ^ 2f) / (částečný y ^ 2) = 4xy ^ 3e ^ (y ^ 2) + 6xye ^ (y ^ 2) #
# (částečný ^ 2f) / (částečný x částečný y) = e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) + 2y ^ 2e ^ (y ^ 2) t (= (částečný ^ 2f) / (částečný y částečný x)) #
A musíme spočítat:
# Delta = (částečný ^ 2f) / (částečný x ^ 2) (částečný ^ 2f) / (částečný y ^ 2) - ((částečný ^ 2f) / (částečný x částečný y)) ^ 2 #
v každém kritickém bodě. Druhé dílčí hodnoty derivace,
# {: ("Kritický bod", (částečný ^ 2f) / (částečný x ^ 2), (částečný ^ 2f) / (částečný y ^ 2), (částečný ^ 2f) / (částečný x částečný y), Delta, "Závěr"), ((0,0,0), 0,0,0, = 0, "včetně":} #
Takže po té práci je poněkud zklamáním, že se dostaneme k inkluzívnímu výsledku, ale pokud zkoumáme chování kolem kritického bodu, můžeme snadno zjistit, že je to sedlový bod.
Tyto kritické body vidíme, když se podíváme na 3D graf:
Jaké jsou extrémní a sedlové body f (x) = 2x ^ 2 lnx?
Doména definice: f (x) = 2x ^ 2lnx je interval x v (0, + oo). Vyhodnoťte první a druhou derivaci funkce: (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + lnx Kritické body jsou řešení: f '(x) = 0 2x (1 + 2lnx) = 0 a jako x> 0: 1 + 2lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) V tomto bodě: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0, takže kritický bod je místní minimum. Sedlové body jsou řešení: f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6 a jako f '' (x) je monotónní zvětšení
Jaké jsou extrémy a sedlové body f (x, y) = 2x ^ (2) + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 - y / x?
Tato funkce nemá žádné stacionární body (jste si jisti, že f (x, y) = 2x ^ 2 + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 y / x je ta, kterou jste chtěli studovat ?!). Podle nejrozšířenější definice sedlových bodů (stacionární body, které nejsou extrémy) hledáte stacionární body funkce v její oblasti D = (x, y) v RR ^ 2 = RR ^ 2 setminus {(0 , y) v RR ^ 2}. Můžeme nyní přepsat výraz uvedený pro f následujícím způsobem: f (x, y) = 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2-y / x Způsob, jak je identifikovat, je hledání bodů, které ruší gradie
Jaké jsou extrémní a sedlové body f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2?
{: ("Kritický bod", "Závěr"), ((0,0), "min"), ((-1, -2), "sedlo"), ((-1,2), "sedlo" ), ((-5 / 3,0), "max"):} Teorie k identifikaci extrémů z = f (x, y) je: Vyřešit současně kritické rovnice (částečné f) / (částečné x) = (částečný f) / (částečný y) = 0 (tj. z_x = z_y = 0) Vyhodnoťte f_ (xx), f_ (yy) a f_ (xy) (= f_ (yx)) v každém z těchto kritických bodů . Proto vyhodnotit Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 v každém z těchto bodů Určete povahu extrému; {: (Delta> 0, "Tam je m