Jaké jsou lokální extrémy f (x) = (xlnx) ^ 2 / x?

Odpovědět:

#f_min = f (1) = 0 #

#f_max = f (e ^ (- 2)) cca 0.541 #

Vysvětlení:

#f (x) = (xlnx) ^ 2 / x #

# = (x ^ 2 * (lnx) ^ 2) / x #

# = x (lnx) ^ 2 #

Použití pravidla produktu

#f '(x) = x * 2lnx * 1 / x + (lnx) ^ 2 * 1 #

# = (lnx) ^ 2 + 2lnx #

Pro místní maxima nebo minima: #f '(x) = 0 #

Nechat # z = lnx #

#:. z ^ 2 + 2z = 0 #

#z (z + 2) = 0 -> z = 0 nebo z = -2 #

Proto platí místní nebo minimální hodnota:

#lnx = 0 nebo lnx = -2 #

#:. x = 1 nebo x = e ^ -2 cca 0,135 #

Nyní prozkoumejte graf #x (lnx) ^ 2 # níže.

graf {x (lnx) ^ 2 -2,566, 5,23, -1,028, 2,87}

To můžeme pozorovat zjednodušeně #f (x) # má místní minimum na adrese # x = 1 # a lokální maximum na #x in (0, 0,25) #

Proto: #f_min = f (1) = 0 # a #f_max = f (e ^ (- 2)) cca 0.541 #