Jaké jsou lokální extrémy f (x) = xlnx-xe ^ x?

Odpovědět:

Tato funkce nemá žádné lokální extrémy.

Vysvětlení:

#f (x) = xlnx-xe ^ x znamená #

#g (x) equiv f ^ '(x) = 1 + lnx - (x + 1) e ^ x #

Pro #X# být místním extrémem, #g (x) # musí být nula. Nyní ukážeme, že k tomu nedochází pro žádnou skutečnou hodnotu #X#.

Všimněte si, že

#g ^ '(x) = 1 / x- (x + 2) e ^ x, qquad g ^ {' '} (x) = -1 / x ^ 2- (x + 3) e ^ x #

Tím pádem #g ^ '(x) # zmizí, pokud

# e ^ x = 1 / (x (x + 2)) #

Jedná se o transcendentální rovnici, kterou lze numericky řešit. Od té doby #g ^ '(0) = + oo # a #g ^ '(1) = 1-3e <0 #, kořen leží mezi 0 a 1. A protože #g ^ {''} (0) <0 # pro všechny pozitivní #X#, toto je jediný kořen a odpovídá maximu pro #g (x) #

Je poměrně snadné řešit rovnici numericky a to ukazuje #g (x) # má maximum v # x = 0.3152 # a maximální hodnota je #g (0.3152) = -1.957 #. Vzhledem k maximální hodnotě #g (x) # je negativní, neexistuje žádná hodnota #X# na které #g (x) # zmizí.

Může být poučné se na to podívat graficky:

graf {x log (x) -x e ^ x -0.105, 1, -1.175, 0.075}

Jak je vidět z grafu výše, funkce #f (x) # ve skutečnosti má maximum na # x = 0 # - ale to není lokální maximum. Níže uvedený graf to ukazuje #g (x) equiv f ^ '(x) # nikdy nebere hodnotu nula.

graf {1 + log (x) - (x + 1) * e ^ x -0,105, 1, -3, 0,075}