Poločas rozpadu kobaltu 60 je 5 let. Jak získáte exponenciální model rozpadu kobaltu 60 ve tvaru Q (t) = Q0e ^ kt?

Odpovědět:

#Q (t) = Q_0e ^ (- (ln (2)) / 5t) #

Vysvětlení:

Nastavili jsme diferenciální rovnici. Víme, že rychlost změny kobaltu je úměrná množství přítomného kobaltu. Víme také, že se jedná o model úpadku, takže zde bude záporné znaménko:

# (dQ) / (dt) = - kQ #

Toto je pěkné, snadné a oddělitelné eq eq:

#int (dQ) / (Q) = -k int dt #

#ln (Q) = - kt + C #

#Q (0) = Q_0 #

#ln (Q_0) = C #

# implikuje ln (Q) = ln (Q_0) - kt #

#ln (Q / Q_0) = -kt #

Zvedněte každou stranu k exponenciálu:

# (Q) / (Q_0) = e ^ (- kt) #

#Q (t) = Q_0e ^ (- kt) #

Teď, když známe obecnou podobu, musíme zjistit, co # k # je.

Nechme poločas života označit # tau #.

#Q (tau) = Q_0 / 2 = Q_0e ^ (- ktau) #

#therefore 1/2 = e ^ (- ktau) #

Vezměte si přírodní záznamy z obou stran:

#ln (1/2) = -ktau #

#k = - (ln (1/2)) / tau #

Pro čistotu přepište #ln (1/2) = -ln (2) #

#therefore k = ln (2) / tau #

#k = ln (2) / (5) yr ^ (- 1) #

#therefore Q (t) = Q_0e ^ (- (ln (2)) / 5t) #